Номер 7.124, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.124. Расстояние от буровой вышки до ближайшей точки прямолинейной трассы 9 км, а от последней точки до населенного пункта на трассе – 23 км. Скорость велосипедиста по бездорожью равна 8 км/ч, а по трассе – 10 км/ч. До какой точки трассы велосипедист должен ехать по бездорожью, чтобы доехать до населенного пункта за наименьшее время?

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть буровая вышка находится в точке А, а прямолинейная трасса — это прямая линия. Пусть В — ближайшая к вышке точка на трассе, а С — населенный пункт. Тогда АВ ⊥ ВС. Велосипедист должен выехать из точки А на некоторую точку Р на трассе, а затем двигаться по трассе до точки С.

По условию задачи имеем:

• Расстояние от вышки до трассы: $AB = 9$ км.
• Расстояние от ближайшей точки на трассе до населенного пункта: $BC = 23$ км.
• Скорость по бездорожью (участок AP): $v_1 = 8$ км/ч.
• Скорость по трассе (участок PC): $v_2 = 10$ км/ч.

Сделаем схематический рисунок:

Обозначим расстояние $BP$ через $x$ (в км). Точка $P$ находится между $B$ и $C$, поэтому $0 \le x \le 23$. Тогда расстояние $PC = 23 - x$.
Найдем расстояние $AP$, которое велосипедист проезжает по бездорожью. Из прямоугольного треугольника $ABP$ по теореме Пифагора:
$AP = \sqrt{AB^2 + BP^2} = \sqrt{9^2 + x^2} = \sqrt{81 + x^2}$ км.
Время, затраченное на каждый участок пути, равно отношению расстояния к скорости.
Время движения по бездорожью (от А до Р): $t_1 = \frac{AP}{v_1} = \frac{\sqrt{81 + x^2}}{8}$ ч.
Время движения по трассе (от Р до С): $t_2 = \frac{PC}{v_2} = \frac{23 - x}{10}$ ч.
Общее время в пути $T$ является функцией от $x$:
$T(x) = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{81 + x^2}}{8} + \frac{23 - x}{10}$.
Нам нужно найти такое значение $x$ из отрезка $[0, 23]$, при котором функция $T(x)$ принимает наименьшее значение. Для этого найдем производную функции $T(x)$ и приравняем ее к нулю.
$T'(x) = \left(\frac{1}{8}(81 + x^2)^{1/2} + \frac{23}{10} - \frac{x}{10}\right)' = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2\sqrt{81 + x^2}} \cdot (81 + x^2)' - \frac{1}{10}$
$T'(x) = \frac{1}{16\sqrt{81 + x^2}} \cdot 2x - \frac{1}{10} = \frac{x}{8\sqrt{81 + x^2}} - \frac{1}{10}$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$T'(x) = 0 \implies \frac{x}{8\sqrt{81 + x^2}} - \frac{1}{10} = 0$
$\frac{x}{8\sqrt{81 + x^2}} = \frac{1}{10}$
$10x = 8\sqrt{81 + x^2}$.
Поскольку $x \ge 0$, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:
$(10x)^2 = (8\sqrt{81 + x^2})^2$
$100x^2 = 64(81 + x^2)$
$100x^2 = 64 \cdot 81 + 64x^2$
$100x^2 - 64x^2 = 64 \cdot 81$
$36x^2 = 5184$
$x^2 = \frac{5184}{36} = 144$
$x = \sqrt{144} = 12$.
Мы нашли единственную критическую точку $x=12$. Эта точка принадлежит отрезку $[0, 23]$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно исследовать знак производной.
При $x < 12$ (например, $x=0$), $T'(0) = 0 - \frac{1}{10} < 0$, функция убывает.
При $x > 12$ (например, $x=16$), $\sqrt{81+16^2} = \sqrt{81+256}=\sqrt{337} \approx 18.3$. $T'(16) = \frac{16}{8 \cdot \sqrt{337}} - \frac{1}{10} = \frac{2}{\sqrt{337}} - \frac{1}{10} = \frac{2}{18.3} - 0.1 \approx 0.109 - 0.1 > 0$, функция возрастает.
Следовательно, $x=12$ является точкой минимума для функции времени $T(x)$.
Таким образом, велосипедист должен ехать по бездорожью до точки на трассе, которая находится на расстоянии 12 км от точки В (ближайшей к вышке) в направлении населенного пункта С.

Ответ: Велосипедист должен ехать по бездорожью до точки на трассе, находящейся на расстоянии 12 км от ближайшей к буровой вышке точки в сторону населенного пункта.