Номер 7.119, страница 227 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.119. 1) $y = \frac{x}{3} + \frac{3}{x}$

2) $y = \frac{3 - x^2}{x + 2}$

3) $y = \frac{x^2}{x - 2}$

4) $y = \frac{x + 2}{x - 1}$

1) Чтобы найти производную функции $y = \frac{x}{3} + \frac{3}{x}$, представим ее в виде $y = \frac{1}{3}x + 3x^{-1}$.
Применим правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$ и правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$y' = (\frac{1}{3}x + 3x^{-1})' = (\frac{1}{3}x)' + (3x^{-1})' = \frac{1}{3} \cdot 1 + 3 \cdot (-1)x^{-1-1} = \frac{1}{3} - 3x^{-2}$.
Преобразуем выражение, избавившись от отрицательной степени, и приведем к общему знаменателю:
$y' = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = \frac{x^2}{3x^2} - \frac{9}{3x^2} = \frac{x^2-9}{3x^2}$.
Ответ: $y' = \frac{x^2-9}{3x^2}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{3-x^2}{x+2}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = 3-x^2$ и $v(x) = x+2$.
Тогда их производные: $u'(x) = -2x$ и $v'(x) = 1$.
Подставим в формулу: $y' = \frac{(-2x)(x+2) - (3-x^2)(1)}{(x+2)^2}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$y' = \frac{-2x^2 - 4x - 3 + x^2}{(x+2)^2} = \frac{-x^2 - 4x - 3}{(x+2)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{-x^2 - 4x - 3}{(x+2)^2}$.

3) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^2}{x-2}$ применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = x-2$.
Их производные: $u'(x) = 2x$ и $v'(x) = 1$.
Подставим в формулу: $y' = \frac{(2x)(x-2) - (x^2)(1)}{(x-2)^2}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$y' = \frac{2x^2 - 4x - x^2}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x}{(x-2)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{x^2-4x}{(x-2)^2}$.

4) Для нахождения производной функции $y = \frac{x+2}{x-1}$ используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = x+2$ и $v(x) = x-1$.
Их производные: $u'(x) = 1$ и $v'(x) = 1$.
Подставим в формулу: $y' = \frac{(1)(x-1) - (x+2)(1)}{(x-1)^2}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$y' = \frac{x - 1 - x - 2}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{3}{(x-1)^2}$.