Номер 7.117, страница 227 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.117–7.119 исследуйте и постройте график

указанных функций.

7.117. 1) $y = x^2(1 - x);$

2) $y = (1 - x^2)(2 + x);$

3) $y = (1 - x^2)(1 - x^3);$

4) $y = (x - 2)^2(x + 1)^2.$

1) $y = x^2(1 - x)$

Проведем полное исследование функции $y = x^2 - x^3$.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому область определения - все действительные числа: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$y(-x) = (-x)^2(1 - (-x)) = x^2(1 + x) = x^2 + x^3$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y = 0^2(1 - 0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью Ox: $y=0 \implies x^2(1 - x) = 0$. Корни $x_1=0$ (кратность 2) и $x_2=1$. Точки $(0, 0)$ и $(1, 0)$. В точке $x=0$ график касается оси, а в точке $x=1$ пересекает ее.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси.
Наклонные асимптоты вида $y=kx+b$ отсутствуют, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2-x^3}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x-x^2) = -\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
Найдем первую производную: $y' = (x^2 - x^3)' = 2x - 3x^2$.
Приравняем производную к нулю: $2x - 3x^2 = 0 \implies x(2 - 3x) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2/3$.
Исследуем знак производной на интервалах:
- $(-\infty, 0)$: $y'(-1) = -2 - 3 = -5 < 0$, функция убывает.
- $(0, 2/3)$: $y'(1/3) = 2/3 - 1/3 = 1/3 > 0$, функция возрастает.
- $(2/3, +\infty)$: $y'(1) = 2 - 3 = -1 < 0$, функция убывает.
В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $y(0) = 0$.
В точке $x=2/3$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума. $y(2/3) = (2/3)^2(1 - 2/3) = (4/9)(1/3) = 4/27$.
Точка минимума: $(0, 0)$. Точка максимума: $(2/3, 4/27)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Найдем вторую производную: $y'' = (2x - 3x^2)' = 2 - 6x$.
Приравняем вторую производную к нулю: $2 - 6x = 0 \implies x = 1/3$.
Исследуем знак второй производной:
- $(-\infty, 1/3)$: $y''(0) = 2 > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
- $(1/3, +\infty)$: $y''(1) = -4 < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).
В точке $x=1/3$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $y(1/3) = (1/3)^2(1 - 1/3) = (1/9)(2/3) = 2/27$.
Точка перегиба: $(1/3, 2/27)$.

График функции:

Ответ: Функция убывает на $(-\infty, 0] \cup [2/3, +\infty)$, возрастает на $[0, 2/3]$. Точка минимума $(0, 0)$, точка максимума $(2/3, 4/27)$. График вогнутый на $(-\infty, 1/3)$, выпуклый на $(1/3, +\infty)$. Точка перегиба $(1/3, 2/27)$. Пересечение с осями в точках $(0, 0)$ и $(1, 0)$. График представлен выше.

2) $y = (1 - x^2)(2 + x)$

Проведем полное исследование функции $y = 2 + x - 2x^2 - x^3$.

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty, +\infty)$, так как функция является многочленом.

2. Четность и нечетность.
$y(-x) = (1 - (-x)^2)(2 - x) = (1 - x^2)(2 - x) = 2 - x - 2x^2 + x^3$.
$y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y = (1-0)(2+0) = 2$. Точка $(0, 2)$.
С осью Ox: $y=0 \implies (1 - x^2)(2 + x) = 0$. Корни $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=-2$. Точки $(1, 0)$, $(-1, 0)$, $(-2, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты отсутствуют, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-x^3-2x^2+x+2}{x} = -\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$y' = (-x^3 - 2x^2 + x + 2)' = -3x^2 - 4x + 1$.
$y'=0 \implies 3x^2 + 4x - 1 = 0$.
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(3)(-1)}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{7}}{3}$.
Критические точки: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{7}}{3} \approx -1.55$, $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{7}}{3} \approx 0.22$.
Парабола $y' = -3x^2-4x+1$ ветвями вниз, значит $y' > 0$ между корнями и $y' < 0$ вне их.
- Убывает на $(-\infty, \frac{-2 - \sqrt{7}}{3}]$ и $[\frac{-2 + \sqrt{7}}{3}, +\infty)$.
- Возрастает на $[\frac{-2 - \sqrt{7}}{3}, \frac{-2 + \sqrt{7}}{3}]$.
$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{7}}{3}$ - точка минимума. $y(x_1) = \frac{20 - 14\sqrt{7}}{27} \approx -0.63$.
$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{7}}{3}$ - точка максимума. $y(x_2) = \frac{20 + 14\sqrt{7}}{27} \approx 2.11$.
Точка минимума: $(\frac{-2 - \sqrt{7}}{3}, \frac{20 - 14\sqrt{7}}{27})$. Точка максимума: $(\frac{-2 + \sqrt{7}}{3}, \frac{20 + 14\sqrt{7}}{27})$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$y'' = (-3x^2 - 4x + 1)' = -6x - 4$.
$y''=0 \implies -6x - 4 = 0 \implies x = -2/3$.
- $(-\infty, -2/3)$: $y''(-1) = 2 > 0$, график вогнутый.
- $(-2/3, +\infty)$: $y''(0) = -4 < 0$, график выпуклый.
$x = -2/3$ - точка перегиба. $y(-2/3) = (1 - 4/9)(2 - 2/3) = (5/9)(4/3) = 20/27$.
Точка перегиба: $(-2/3, 20/27)$.

График функции:

Ответ: Функция убывает на $(-\infty, \frac{-2 - \sqrt{7}}{3}] \cup [\frac{-2 + \sqrt{7}}{3}, +\infty)$, возрастает на $[\frac{-2 - \sqrt{7}}{3}, \frac{-2 + \sqrt{7}}{3}]$. Точка минимума $(\frac{-2 - \sqrt{7}}{3}, \frac{20 - 14\sqrt{7}}{27})$, точка максимума $(\frac{-2 + \sqrt{7}}{3}, \frac{20 + 14\sqrt{7}}{27})$. График вогнутый на $(-\infty, -2/3)$, выпуклый на $(-2/3, +\infty)$. Точка перегиба $(-2/3, 20/27)$. Пересечение с осями в точках $(-2, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(0, 2)$. График представлен выше.

3) $y = (1 - x^2)(1 - x^3)$

Проведем полное исследование функции $y = x^5 - x^3 - x^2 + 1$.

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$y(-x) = (-x)^5 - (-x)^3 - (-x)^2 + 1 = -x^5 + x^3 - x^2 + 1$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y = 1$. Точка $(0, 1)$.
С осью Ox: $y=0 \implies (1 - x^2)(1 - x^3) = 0 \implies (1-x)(1+x)(1-x)(1+x+x^2)=0$.
Квадратный трехчлен $x^2+x+1$ не имеет действительных корней. Корни: $x_1=-1$ и $x_2=1$ (кратность 2). Точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$. В точке $x=1$ график касается оси.

4. Асимптоты.
Вертикальных и наклонных асимптот нет. $\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$y' = 5x^4 - 3x^2 - 2x = x(5x^3 - 3x - 2)$.
$y'=0 \implies x=0$ или $5x^3 - 3x - 2 = 0$. Подбором находим корень $x=1$. Делением получаем $(x-1)(5x^2+5x+2)=0$. Квадратный трехчлен не имеет действительных корней.Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.
Знак $y'$ определяется выражением $x(x-1)$.
- $(-\infty, 0)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- $(0, 1)$: $y' < 0$, функция убывает.
- $(1, +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
$x=0$ - точка максимума. $y(0) = 1$.
$x=1$ - точка минимума. $y(1) = 0$.
Точка максимума: $(0, 1)$. Точка минимума: $(1, 0)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$y'' = 20x^3 - 6x - 2 = 2(10x^3 - 3x - 1)$.
$y''=0 \implies 10x^3 - 3x - 1 = 0$. Уравнение имеет один действительный корень $x_{inf} \approx 0.66$.
- $(-\infty, x_{inf})$: $y'' < 0$, график выпуклый.
- $(x_{inf}, +\infty)$: $y'' > 0$, график вогнутый.
$x_{inf} \approx 0.66$ - точка перегиба. $y(x_{inf}) \approx 0.40$.
Точка перегиба: $\approx (0.66, 0.40)$.

График функции:

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$, убывает на $[0, 1]$. Точка максимума $(0, 1)$, точка минимума $(1, 0)$. График выпуклый на $(-\infty, x_{inf})$ и вогнутый на $(x_{inf}, +\infty)$, где $x_{inf} \approx 0.66$ - точка перегиба. Пересечение с осями в точках $(-1, 0)$, $(1, 0)$ и $(0, 1)$. График представлен выше.

4) $y = (x - 2)^2(x + 1)^2$

Проведем полное исследование функции $y = ((x-2)(x+1))^2 = (x^2 - x - 2)^2$.

1. Область определения и значения.
$D(y) = (-\infty, +\infty)$. Так как функция является квадратом выражения, $y \ge 0$ для всех $x$. Область значений $E(y) = [0, +\infty)$.

2. Симметрия.
Функция симметрична относительно прямой $x=1/2$ (середина между корнями $-1$ и $2$).

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y = (0-2)^2(0+1)^2 = 4$. Точка $(0, 4)$.
С осью Ox: $y=0 \implies (x-2)^2(x+1)^2=0$. Корни $x_1=2$ и $x_2=-1$ (оба кратности 2). График касается оси Ox в точках $(2, 0)$ и $(-1, 0)$.

4. Асимптоты.
Асимптот нет. $\lim_{x \to \pm\infty} y = +\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$y' = 2(x^2-x-2)(2x-1) = 2(x-2)(x+1)(2x-1)$.
Критические точки: $x_1=-1$, $x_2=1/2$, $x_3=2$.
- $(-\infty, -1)$: $y' < 0$, убывает.
- $(-1, 1/2)$: $y' > 0$, возрастает.
- $(1/2, 2)$: $y' < 0$, убывает.
- $(2, +\infty)$: $y' > 0$, возрастает.
$x=-1$ и $x=2$ - точки минимума. $y(-1)=0, y(2)=0$.
$x=1/2$ - точка максимума. $y(1/2) = (-3/2)^2(3/2)^2 = 81/16 = 5.0625$.
Точки минимума: $(-1, 0)$, $(2, 0)$. Точка максимума: $(1/2, 81/16)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$y'' = 12x^2 - 12x - 6 = 6(2x^2 - 2x - 1)$.
$y''=0 \implies 2x^2 - 2x - 1 = 0$. Корни $x = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$.
Точки перегиба: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \approx -0.366$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \approx 1.366$.
- $(-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$: $y'' > 0$, график вогнутый.
- $(x_1, x_2)$: $y'' < 0$, график выпуклый.
Значение функции в точках перегиба: $y(\frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}) = (\frac{1}{2}-2)^2 = \frac{9}{4}=2.25$.
Точки перегиба: $(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{9}{4})$ и $(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{9}{4})$.

График функции:

Ответ: Функция убывает на $(-\infty, -1] \cup [1/2, 2]$, возрастает на $[-1, 1/2] \cup [2, +\infty)$. Точки минимума $(-1, 0)$ и $(2, 0)$, точка максимума $(1/2, 81/16)$. График вогнутый на $(-\infty, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, +\infty)$ и выпуклый на $(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{1 + \sqrt{3}}{2})$. Точки перегиба $(\frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}, \frac{9}{4})$. Пересечение с осями в точках $(-1, 0)$, $(2, 0)$ и $(0, 4)$. График представлен выше.