gdz.top
Номер 7.121, страница 227 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков
Авторы: Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н.
Тип: Учебник
Издательство: Атамұра
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-331-522-5
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Раздел 7. Производная и ее применение. 7.5. Упрощённая схема исследования и построения графика функции - номер 7.121, страница 227.
№7.120
№7.121 (с. 227)
Учебник рус. №7.121 (с. 227)
7.121. Найдите положительное число $x$, такое, чтобы разность $x - x^2$ принимала наибольшее значение.
Учебник кз. №7.121 (с. 227)
Решение. №7.121 (с. 227)
Решение 2 (rus). №7.121 (с. 227)
Для решения задачи необходимо найти максимальное значение функции $f(x) = x - x^2$ при условии, что $x > 0$. Это задача на нахождение экстремума функции.
Способ 1: С использованием производной
1. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x - x^2)' = 1 - 2x$
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0$
$1 - 2x = 0$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
3. Проверим, является ли эта точка точкой максимума. Для этого можно исследовать знак производной в окрестности точки $x = \frac{1}{2}$.
При $x < \frac{1}{2}$ (например, $x=0.1$), $f'(x) = 1 - 2(0.1) = 0.8 > 0$, значит, функция возрастает.
При $x > \frac{1}{2}$ (например, $x=1$), $f'(x) = 1 - 2(1) = -1 < 0$, значит, функция убывает.
Поскольку при переходе через точку $x = \frac{1}{2}$ производная меняет знак с «+» на «−», эта точка является точкой максимума. Условие $x > 0$ выполняется, так как $\frac{1}{2} > 0$.
Также можно использовать вторую производную:
$f''(x) = (1-2x)' = -2$
Поскольку $f''(\frac{1}{2}) = -2 < 0$, точка $x = \frac{1}{2}$ является точкой максимума.
Способ 2: Свойства квадратичной функции
Функция $f(x) = x - x^2$ или $f(x) = -x^2 + x$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -1). Следовательно, функция имеет наибольшее значение в вершине параболы.
Координата $x_0$ вершины параболы вида $y=ax^2+bx+c$ находится по формуле:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$
В нашем случае $a=-1$ и $b=1$. Подставим эти значения в формулу:
$x_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$
Это значение $x$ положительно, значит, оно удовлетворяет условию задачи.
Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: $x = \frac{1}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 7.121 расположенного на странице 227 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7.121 (с. 227), авторов: Шыныбеков (Абдухали Насырович), Шыныбеков (Данияр Абдухалиевич), Жумабаев (Ринат Нурланович), учебного пособия издательства Атамұра.