Номер 7.118, страница 227 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.118. 1) $y = \sqrt{2} - 2\sin^2 x;$

2) $y = 2\text{tg}\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}.$

1) Дана функция $y = \sqrt{2 - 2\sin^2 x}$.

Для начала упростим выражение для функции. Вынесем общий множитель 2 за скобки под корнем:$y = \sqrt{2(1 - \sin^2 x)}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$, получаем:$y = \sqrt{2\cos^2 x}$.

Извлекая корень, получаем:$y = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\cos^2 x} = \sqrt{2}|\cos x|$.Теперь исследуем свойства полученной функции $y = \sqrt{2}|\cos x|$.

Область определения:Выражение под знаком квадратного корня в исходной функции должно быть неотрицательным:$2 - 2\sin^2 x \ge 0$.$2(1 - \sin^2 x) \ge 0$.$1 - \sin^2 x \ge 0$.$\cos^2 x \ge 0$.Это неравенство выполняется для любого действительного значения $x$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.Таким образом, область определения функции – все действительные числа.$D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Область значений:Мы знаем, что значения функции косинус лежат в пределах от -1 до 1: $-1 \le \cos x \le 1$.Следовательно, для модуля косинуса имеем: $0 \le |\cos x| \le 1$.Умножим все части неравенства на $\sqrt{2}$:$0 \cdot \sqrt{2} \le \sqrt{2}|\cos x| \le 1 \cdot \sqrt{2}$$0 \le y \le \sqrt{2}$.Таким образом, область значений функции – отрезок $[0, \sqrt{2}]$.$E(y) = [0, \sqrt{2}]$.

Основной период:Функция $\cos x$ имеет основной период $2\pi$. Функция $|\cos x|$ имеет основной период $\pi$, так как $|\cos(x+\pi)| = |-\cos x| = |\cos x|$.Умножение на постоянный множитель $\sqrt{2}$ не влияет на период функции.Следовательно, основной период функции $y = \sqrt{2}|\cos x|$ равен $\pi$.$T = \pi$.

Ответ: Область определения: $(-\infty, +\infty)$; область значений: $[0, \sqrt{2}]$; основной период: $\pi$.

2) Дана функция $y = 2\tg\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Область определения:Функция тангенс, $\tg(u)$, определена для всех действительных чисел $u$, кроме тех, где $\cos(u) = 0$, то есть $u \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ для всех целых $n \in \mathbb{Z}$.В нашем случае аргумент тангенса $u = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}$.Следовательно, мы должны иметь:$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.Решим это неравенство относительно $x$:$\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n$$\frac{x}{2} \neq \frac{2\pi + \pi}{4} + \pi n$$\frac{x}{2} \neq \frac{3\pi}{4} + \pi n$$x \neq 2\left(\frac{3\pi}{4} + \pi n\right)$$x \neq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.Это и есть область определения функции.

Область значений:Область значений стандартной функции тангенс, $\tg(u)$, – это множество всех действительных чисел, $(-\infty, +\infty)$.Линейные преобразования, такие как умножение на константу (вертикальное растяжение) и сложение с константой (вертикальный сдвиг), не меняют эту область значений.В нашем случае, растяжение по оси Y в 2 раза и сдвиг вниз на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ отображают множество $(-\infty, +\infty)$ на себя.Таким образом, область значений данной функции – все действительные числа.$E(y) = (-\infty, +\infty)$.

Основной период:Основной период функции $\tg(u)$ равен $\pi$.Для функции вида $y = A\tg(kx+b) + C$, основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ – основной период базовой функции $\tg(u)$.В данном случае $T_0 = \pi$ и коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$.$T = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi$.Следовательно, основной период данной функции равен $2\pi$.

Ответ: Область определения: $x \neq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; область значений: $(-\infty, +\infty)$; основной период: $2\pi$.