Номер 7.123, страница 227 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.123. Даны два прожектора, расстояние между которыми равно 30 м, и соотношение мощности освещения которых равно $27 : 8$. В какой точке отрезка, соединяющего эти прожекторы, освещенность наименьшая?

Пусть два прожектора расположены на оси $Ox$. Пусть первый, более мощный прожектор, находится в точке с координатой $x_1 = 0$, а второй, менее мощный, — в точке с координатой $x_2 = 30$ м.

Пусть мощности (силы света) прожекторов равны $P_1$ и $P_2$. Согласно условию, их соотношение составляет $P_1 : P_2 = 27 : 8$. Мы можем принять, что $P_1 = 27k$ и $P_2 = 8k$, где $k$ — некоторый положительный коэффициент.

Освещенность $E$, создаваемая точечным источником света, прямо пропорциональна его мощности $P$ и обратно пропорциональна квадрату расстояния $r$ до источника. Это выражается формулой $E = \frac{C \cdot P}{r^2}$, где $C$ — постоянный коэффициент.

Рассмотрим произвольную точку на отрезке, соединяющем прожекторы. Пусть ее координата равна $x$, причем $0 < x < 30$.
Расстояние от этой точки до первого (более мощного) прожектора равно $r_1 = x$.
Расстояние до второго (менее мощного) прожектора равно $r_2 = 30 - x$.

Общая освещенность в точке с координатой $x$ является суммой освещенностей от каждого из прожекторов:$E(x) = E_1(x) + E_2(x) = \frac{C \cdot P_1}{r_1^2} + \frac{C \cdot P_2}{r_2^2} = C \left( \frac{27k}{x^2} + \frac{8k}{(30-x)^2} \right)$.

Чтобы определить точку с наименьшей освещенностью, нам необходимо найти значение $x$, при котором функция $E(x)$ достигает своего минимума на интервале $(0, 30)$. Так как $C$ и $k$ являются положительными константами, задача сводится к минимизации функции:$f(x) = \frac{27}{x^2} + \frac{8}{(30-x)^2}$.

Для нахождения точки минимума вычислим производную функции $f(x)$ по переменной $x$:$f'(x) = \left( 27x^{-2} + 8(30-x)^{-2} \right)' = 27(-2)x^{-3} + 8(-2)(30-x)^{-3} \cdot (-1) = -\frac{54}{x^3} + \frac{16}{(30-x)^3}$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$f'(x) = 0$
$-\frac{54}{x^3} + \frac{16}{(30-x)^3} = 0$
$\frac{16}{(30-x)^3} = \frac{54}{x^3}$

Разделим обе части уравнения на 2:$\frac{8}{(30-x)^3} = \frac{27}{x^3}$

Извлечем кубический корень из обеих частей:$\sqrt[3]{\frac{8}{(30-x)^3}} = \sqrt[3]{\frac{27}{x^3}}$
$\frac{2}{30-x} = \frac{3}{x}$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:$2x = 3(30-x)$
$2x = 90 - 3x$
$5x = 90$
$x = \frac{90}{5} = 18$

Критическая точка $x=18$ находится внутри рассматриваемого интервала $(0, 30)$. Это означает, что точка наименьшей освещенности находится на расстоянии 18 м от более мощного прожектора и, соответственно, на расстоянии $30 - 18 = 12$ м от менее мощного.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, исследуем знак производной $f'(x)$ в окрестности точки $x=18$.
При $x < 18$ (например, $x=10$), производная $f'(10) = -\frac{54}{10^3} + \frac{16}{20^3} = -0.054 + 0.002 < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.
При $x > 18$ (например, $x=20$), производная $f'(20) = -\frac{54}{20^3} + \frac{16}{10^3} = -0.00675 + 0.016 > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.
Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку $x=18$, эта точка является точкой локального минимума. Так как это единственная критическая точка на интервале, она является точкой абсолютного минимума.

Ответ: Наименьшая освещенность будет в точке на отрезке, соединяющем прожекторы, которая находится на расстоянии 18 м от более мощного прожектора и 12 м от менее мощного.