Номер 7.122, страница 227 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.122. Материальная точка движется прямолинейно по закону:

$s(t) = 5t + 2t^2 - \frac{2}{3}t^3$. Здесь $s(t)$ измеряется в метрах, а время $t$ – в секундах. В какой момент времени скорость материальной точки будет наибольшей?

Закон движения материальной точки задан уравнением: $s(t) = 5t + 2t^2 - \frac{2}{3}t^3$. В условии задачи $s$ измеряется в метрах, а $t$ в секундах.

Скорость материальной точки является первой производной от пути по времени. Найдем функцию скорости $v(t)$, взяв производную от функции $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(5t + 2t^2 - \frac{2}{3}t^3)$

$v(t) = 5 \cdot 1 + 2 \cdot 2t - \frac{2}{3} \cdot 3t^2$

$v(t) = 5 + 4t - 2t^2$

Таким образом, зависимость скорости от времени описывается квадратичной функцией $v(t) = -2t^2 + 4t + 5$.

Чтобы найти момент времени, в который скорость будет наибольшей, необходимо найти точку максимума функции $v(t)$. Поскольку функция $v(t)$ является параболой, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $t^2$ равен $-2$, что меньше нуля), ее максимум находится в вершине параболы.

Координату $t_0$ вершины параболы вида $y = at^2+bt+c$ находят по формуле $t_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае, для функции $v(t) = -2t^2 + 4t + 5$, коэффициенты равны $a = -2$ и $b = 4$.

Подставим значения в формулу:

$t = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$

Также можно найти максимум функции, вычислив ее производную (которая представляет собой ускорение $a(t)$) и приравняв ее к нулю:

$a(t) = v'(t) = (-2t^2 + 4t + 5)' = -4t + 4$

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:

$-4t + 4 = 0$

$4t = 4$

$t = 1$

Чтобы убедиться, что это точка максимума, можно проверить знак второй производной $v''(t)$.

$v''(t) = a'(t) = (-4t + 4)' = -4$

Поскольку $v''(1) = -4 < 0$, в точке $t=1$ функция скорости $v(t)$ достигает своего максимума.

Таким образом, скорость материальной точки будет наибольшей в момент времени $t=1$ с.

Ответ: 1 с.