Страница 227 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.111. Разложите 12 на два положительных слагаемых так, чтобы сумма кубов этих слагаемых была наименьшей.

Пусть первое положительное слагаемое равно $x$, тогда второе положительное слагаемое равно $12 - x$. По условию задачи, оба слагаемых должны быть положительными, поэтому $x > 0$ и $12 - x > 0$. Из второго неравенства следует, что $x < 12$. Таким образом, мы ищем $x$ в интервале $(0, 12)$.

Сумма кубов этих слагаемых представляет собой функцию от $x$: $S(x) = x^3 + (12 - x)^3$. Наша задача — найти значение $x$, при котором эта функция принимает наименьшее значение на интервале $(0, 12)$.

Для нахождения точки минимума найдем производную функции $S(x)$ по $x$. Используя правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования сложной функции, получаем: $S'(x) = (x^3)' + ((12 - x)^3)' = 3x^2 + 3(12 - x)^2 \cdot (12-x)' = 3x^2 - 3(12 - x)^2$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $S'(x) = 0$ $3x^2 - 3(12 - x)^2 = 0$ $x^2 - (12 - x)^2 = 0$ Разложим левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $(x - (12 - x))(x + (12 - x)) = 0$ $(x - 12 + x)(x + 12 - x) = 0$ $(2x - 12)(12) = 0$ $2x - 12 = 0$ $x = 6$.

Критическая точка $x=6$ принадлежит интервалу $(0, 12)$. Теперь нужно определить, является ли эта точка точкой минимума. Для этого найдем вторую производную функции $S(x)$: $S''(x) = (3x^2 - 3(12 - x)^2)' = 6x - 3 \cdot 2(12-x) \cdot (-1) = 6x + 6(12-x) = 6x + 72 - 6x = 72$.

Так как вторая производная $S''(6) = 72 > 0$, то в точке $x = 6$ функция $S(x)$ имеет минимум.

Итак, первое слагаемое равно $x = 6$. Найдем второе слагаемое: $12 - x = 12 - 6 = 6$. Следовательно, чтобы сумма кубов была наименьшей, число 12 нужно разложить на слагаемые 6 и 6.

Ответ: $12 = 6 + 6$.

7.112. Разложите 10 на два слагаемых так, чтобы произведение этих слагаемых было наибольшим.

Пусть первое слагаемое равно $x$. Поскольку сумма двух слагаемых по условию равна 10, то второе слагаемое будет равно $10 - x$.

Нам необходимо найти наибольшее значение произведения этих слагаемых. Обозначим это произведение как функцию от $x$:

$P(x) = x \cdot (10 - x) = 10x - x^2$.

Мы получили квадратичную функцию $P(x) = -x^2 + 10x$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -1). Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координата $x$ вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, вычисляется по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае коэффициенты $a = -1$ и $b = 10$. Подставим эти значения в формулу:

$x_0 = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = -\frac{10}{-2} = 5$.

Это означает, что при $x = 5$ произведение будет наибольшим. Таким образом, первое слагаемое равно 5.

Теперь найдем второе слагаемое:

$10 - x = 10 - 5 = 5$.

Итак, чтобы произведение было наибольшим, число 10 нужно разложить на два слагаемых, каждое из которых равно 5. Их произведение будет равно $5 \cdot 5 = 25$.

Ответ: 10 = 5 + 5.

7.113. Разложите 36 на два положительных множителя так, чтобы сумма этих множителей была наименьшей.

Пусть $x$ и $y$ — два искомых положительных множителя. Согласно условию задачи, их произведение равно 36, а их сумма должна быть наименьшей.

Запишем эти условия в виде математической системы:
1. $x > 0$ и $y > 0$
2. $x \cdot y = 36$

Мы ищем минимальное значение функции суммы $S = x + y$.

Способ 1: Использование производной

Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$: $y = \frac{36}{x}$. Поскольку $x$ — положительное число, это выражение всегда определено. Подставим его в выражение для суммы, чтобы получить функцию одной переменной $x$:

$S(x) = x + \frac{36}{x}$

Чтобы найти наименьшее значение функции, нужно найти её производную и приравнять к нулю.

$S'(x) = (x + \frac{36}{x})' = (x)' + (36x^{-1})' = 1 - 36x^{-2} = 1 - \frac{36}{x^2}$

Теперь найдем критические точки, решив уравнение $S'(x) = 0$:

$1 - \frac{36}{x^2} = 0$

$1 = \frac{36}{x^2}$

$x^2 = 36$

Так как по условию $x > 0$, выбираем положительный корень: $x = 6$.

Чтобы убедиться, что $x=6$ является точкой минимума, найдем вторую производную:

$S''(x) = (1 - 36x^{-2})' = 0 - 36 \cdot (-2)x^{-3} = \frac{72}{x^3}$

При $x=6$, значение второй производной $S''(6) = \frac{72}{6^3} = \frac{72}{216}$, что больше нуля. Следовательно, $x=6$ — это точка минимума.

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{36}{6} = 6$

Таким образом, множители равны 6 и 6, а их минимальная сумма равна $6+6=12$.

Способ 2: Использование неравенства о средних (неравенство Коши)

Для любых двух положительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство, связывающее их среднее арифметическое и среднее геометрическое:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.

Применим это неравенство к нашим множителям $x$ и $y$:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{x \cdot y}$

Поскольку мы знаем, что $x \cdot y = 36$, подставим это значение:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{36}$

$\frac{x+y}{2} \ge 6$

$x+y \ge 12$

Это неравенство показывает, что сумма $x+y$ всегда больше или равна 12. Следовательно, ее наименьшее значение равно 12. Это значение достигается, когда выполняется условие равенства, то есть когда $x=y$.

Если $x=y$ и $x \cdot y = 36$, то $x \cdot x = 36$, или $x^2 = 36$. Так как $x>0$, получаем $x=6$. Соответственно, $y$ также равен 6.

Оба метода показывают, что для получения наименьшей суммы множители должны быть равны друг другу.

Ответ: Число 36 следует разложить на два множителя: 6 и 6.

7.114. Покажите, что среди всех равнобедренных треугольников с периметром $P$ наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

Пусть дан равнобедренный треугольник с боковыми сторонами длины $a$ и основанием длины $b$. Его периметр $P$ постоянен и равен $P = 2a + b$. Отсюда мы можем выразить основание через боковую сторону: $b = P - 2a$.

Для существования треугольника должны выполняться неравенства треугольника:
1. $a + a > b \implies 2a > b$. Подставив $b = P - 2a$, получаем $2a > P - 2a \implies 4a > P \implies a > \frac{P}{4}$.
2. $a + b > a \implies b > 0$. Подставив $b = P - 2a$, получаем $P - 2a > 0 \implies P > 2a \implies a < \frac{P}{2}$.
Таким образом, боковая сторона $a$ должна находиться в интервале $\frac{P}{4} < a < \frac{P}{2}$.

Найдем площадь $S$ этого треугольника. Проведем высоту $h$ к основанию $b$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{b}{2}$.

По теореме Пифагора, $h^2 + (\frac{b}{2})^2 = a^2$, откуда $h = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$.Площадь треугольника равна $S = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} b \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$.

Подставим выражение для $b$ через $a$ и $P$ в формулу площади, чтобы получить функцию площади от одной переменной $a$:$S(a) = \frac{1}{2} (P - 2a) \sqrt{a^2 - \frac{(P - 2a)^2}{4}}$.

Для нахождения максимума функции $S(a)$ удобно исследовать на максимум ее квадрат $S^2(a)$, так как $S(a) > 0$ и точка максимума для $S(a)$ и $S^2(a)$ совпадет. Это позволяет избежать работы с производной от квадратного корня.
$S^2(a) = \frac{1}{4} (P - 2a)^2 \left( a^2 - \frac{(P - 2a)^2}{4} \right)$
$S^2(a) = \frac{1}{4} (P - 2a)^2 \frac{4a^2 - (P^2 - 4Pa + 4a^2)}{4}$
$S^2(a) = \frac{1}{16} (P - 2a)^2 (4a^2 - P^2 + 4Pa - 4a^2)$
$S^2(a) = \frac{1}{16} (P - 2a)^2 (4Pa - P^2)$.

Обозначим $f(a) = S^2(a) = \frac{P}{16} (P - 2a)^2 (4a - P)$. Найдем производную этой функции по $a$:
$f'(a) = \frac{P}{16} \left[ 2(P-2a)(-2)(4a-P) + (P-2a)^2(4) \right]$
$f'(a) = \frac{P}{16} \left[ -4(P-2a)(4a-P) + 4(P-2a)^2 \right]$.
Вынесем за скобки общий множитель $4(P-2a)$:
$f'(a) = \frac{4P}{16} (P-2a) \left[ -(4a-P) + (P-2a) \right]$
$f'(a) = \frac{P}{4} (P-2a) (-4a + P + P - 2a)$
$f'(a) = \frac{P}{4} (P-2a) (2P - 6a)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $f'(a) = 0$.
$\frac{P}{4} (P-2a) (2P - 6a) = 0$.
Это уравнение имеет два решения:
1. $P - 2a = 0 \implies a = \frac{P}{2}$. Эта точка является границей области определения $a$ и соответствует вырожденному треугольнику с нулевой площадью ($b=0$).
2. $2P - 6a = 0 \implies 6a = 2P \implies a = \frac{P}{3}$.

Проверим, что точка $a = \frac{P}{3}$ является точкой максимума. Эта точка принадлежит нашему интервалу $(\frac{P}{4}, \frac{P}{2})$.Исследуем знак производной $f'(a) = \frac{P}{4} (P-2a) (2P - 6a)$ на интервале $(\frac{P}{4}, \frac{P}{2})$.
На этом интервале $a < \frac{P}{2}$, поэтому множитель $(P-2a)$ всегда положителен. Знак производной определяется знаком множителя $(2P-6a) = 6(\frac{P}{3}-a)$.
- Если $a < \frac{P}{3}$, то $(\frac{P}{3}-a) > 0$, следовательно $f'(a) > 0$, и функция $f(a)$ возрастает.
- Если $a > \frac{P}{3}$, то $(\frac{P}{3}-a) < 0$, следовательно $f'(a) < 0$, и функция $f(a)$ убывает.
Поскольку производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку $a = \frac{P}{3}$, эта точка является точкой максимума.

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника максимальна при $a = \frac{P}{3}$.Найдем длину основания $b$ при этом значении $a$:
$b = P - 2a = P - 2\left(\frac{P}{3}\right) = P - \frac{2P}{3} = \frac{P}{3}$.
Получили, что $a = b = \frac{P}{3}$. Следовательно, все три стороны треугольника равны. Это означает, что треугольник является равносторонним.

Ответ: Утверждение доказано: среди всех равнобедренных треугольников с заданным периметром $P$ наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

7.115. Найдите радиус цилиндра наибольшего объема, вписанного в данную сферу радиусом $R$.

Решение:

Пусть $R$ — радиус данной сферы, $r$ и $h$ — радиус основания и высота вписанного в сферу цилиндра соответственно.

Рассмотрим осевое сечение. Сечением сферы является большой круг радиуса $R$, а сечением вписанного цилиндра — прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$. Вершины этого прямоугольника лежат на окружности. Из прямоугольного треугольника (на рисунке выделен цветом), образованного радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусом цилиндра $r$ и половиной высоты цилиндра $h/2$ (катеты), по теореме Пифагора имеем соотношение:$r^2 + (\frac{h}{2})^2 = R^2$

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Нам необходимо найти максимальное значение этого объема.

Чтобы найти максимум, выразим объем как функцию одной переменной. Из соотношения $r^2 + h^2/4 = R^2$ выразим $r^2$: $r^2 = R^2 - h^2/4$. Подставим это выражение в формулу объема:$V(h) = \pi (R^2 - \frac{h^2}{4}) h = \pi R^2 h - \frac{\pi}{4} h^3$.Высота цилиндра $h$ может принимать значения в интервале $(0, 2R)$.

Для нахождения точки экстремума функции $V(h)$ найдем ее производную по переменной $h$ и приравняем к нулю:$V'(h) = \frac{d}{dh} (\pi R^2 h - \frac{\pi}{4} h^3) = \pi R^2 - \frac{3\pi}{4} h^2$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$\pi R^2 - \frac{3\pi}{4} h^2 = 0$
$\pi R^2 = \frac{3\pi}{4} h^2$
$R^2 = \frac{3}{4} h^2$
$h^2 = \frac{4R^2}{3}$
$h = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$ (берем положительное значение, так как высота не может быть отрицательной).

Чтобы убедиться, что это точка максимума, проверим знак второй производной:$V''(h) = -\frac{6\pi}{4}h = -\frac{3\pi}{2}h$.Так как $h = \frac{2R}{\sqrt{3}} > 0$, вторая производная $V''(h)$ отрицательна, следовательно, при данном значении $h$ объем цилиндра достигает своего максимального значения.

Задача состоит в том, чтобы найти радиус цилиндра $r$. Подставим найденное значение $h^2$ в соотношение между $r$ и $h$:$r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4} = R^2 - \frac{1}{4} \left(\frac{4R^2}{3}\right) = R^2 - \frac{R^2}{3} = \frac{2R^2}{3}$.

Отсюда находим искомый радиус $r$:$r = \sqrt{\frac{2R^2}{3}} = R\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{R\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $R\sqrt{\frac{2}{3}}$.

7.116. Впишите в остроугольный треугольник с основанием $a$ и высотой $h$ прямоугольник наибольшей площади. Найдите площадь этого прямоугольника.

Рассмотрим остроугольный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, длина которого равна $a$, и высотой $BD$, проведенной к этому основанию, длиной $h$.

Впишем в этот треугольник прямоугольник $KLMN$ так, чтобы его сторона $KL$ лежала на основании $AC$ треугольника, а вершины $N$ и $M$ — на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Обозначим стороны прямоугольника: ширину $KL = NM = x$ и высоту $NK = ML = y$. Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = xy$. Наша задача — найти максимальное значение этой площади.

Рассмотрим треугольник $NBM$, расположенный над прямоугольником. Его основание $NM$ параллельно основанию $AC$ треугольника $ABC$, и его длина равна $x$. Высота треугольника $NBM$, проведенная из вершины $B$ к основанию $NM$, равна разности высоты всего треугольника $h$ и высоты прямоугольника $y$, то есть ее длина составляет $h-y$.

Поскольку сторона $NM$ прямоугольника параллельна основанию $AC$ ($NM \parallel AC$), то треугольник $NBM$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle NBM \sim \triangle ABC$). Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих высот равно отношению их оснований:

$\frac{\text{высота } \triangle NBM}{\text{высота } \triangle ABC} = \frac{\text{основание } NM}{\text{основание } AC}$

Подставив обозначенные длины, получим пропорцию:

$\frac{h-y}{h} = \frac{x}{a}$

Из этого соотношения выразим ширину прямоугольника $x$ через его высоту $y$:

$x = a \cdot \frac{h-y}{h} = a \left(1 - \frac{y}{h}\right)$

Теперь подставим это выражение для $x$ в формулу площади прямоугольника $S = xy$, чтобы получить функцию площади, зависящую только от одной переменной $y$:

$S(y) = a \left(1 - \frac{y}{h}\right) y = ay - \frac{a}{h}y^2$

Функция $S(y) = -\frac{a}{h}y^2 + ay$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $y^2$ (равный $-\frac{a}{h}$) отрицателен ($a>0$, $h>0$). Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы.

Координата вершины параболы вида $f(t) = At^2 + Bt + C$ находится по формуле $t_0 = -\frac{B}{2A}$. Для нашей функции площади $A = -\frac{a}{h}$ и $B = a$.

Найдем значение $y$, при котором площадь $S$ максимальна:

$y = -\frac{a}{2 \left(-\frac{a}{h}\right)} = \frac{a}{\frac{2a}{h}} = \frac{a \cdot h}{2a} = \frac{h}{2}$

Таким образом, высота искомого прямоугольника должна быть равна половине высоты треугольника.

Теперь найдем соответствующую ширину прямоугольника $x$:

$x = a \left(1 - \frac{y}{h}\right) = a \left(1 - \frac{h/2}{h}\right) = a \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{a}{2}$

Ширина прямоугольника с наибольшей площадью равна половине основания треугольника.

Наконец, вычислим наибольшую возможную площадь этого прямоугольника:

$S_{\text{max}} = x \cdot y = \frac{a}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{ah}{4}$

Интересно отметить, что площадь самого треугольника равна $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ah$, следовательно, максимальная площадь вписанного прямоугольника составляет ровно половину площади треугольника.

Ответ: Наибольшая площадь прямоугольника, вписанного в остроугольный треугольник с основанием $a$ и высотой $h$, равна $\frac{ah}{4}$.

В упражнениях 7.117–7.119 исследуйте и постройте график

указанных функций.

7.117. 1) $y = x^2(1 - x);$

2) $y = (1 - x^2)(2 + x);$

3) $y = (1 - x^2)(1 - x^3);$

4) $y = (x - 2)^2(x + 1)^2.$

1) $y = x^2(1 - x)$

Проведем полное исследование функции $y = x^2 - x^3$.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому область определения - все действительные числа: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$y(-x) = (-x)^2(1 - (-x)) = x^2(1 + x) = x^2 + x^3$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y = 0^2(1 - 0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью Ox: $y=0 \implies x^2(1 - x) = 0$. Корни $x_1=0$ (кратность 2) и $x_2=1$. Точки $(0, 0)$ и $(1, 0)$. В точке $x=0$ график касается оси, а в точке $x=1$ пересекает ее.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси.
Наклонные асимптоты вида $y=kx+b$ отсутствуют, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2-x^3}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x-x^2) = -\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
Найдем первую производную: $y' = (x^2 - x^3)' = 2x - 3x^2$.
Приравняем производную к нулю: $2x - 3x^2 = 0 \implies x(2 - 3x) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2/3$.
Исследуем знак производной на интервалах:
- $(-\infty, 0)$: $y'(-1) = -2 - 3 = -5 < 0$, функция убывает.
- $(0, 2/3)$: $y'(1/3) = 2/3 - 1/3 = 1/3 > 0$, функция возрастает.
- $(2/3, +\infty)$: $y'(1) = 2 - 3 = -1 < 0$, функция убывает.
В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $y(0) = 0$.
В точке $x=2/3$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума. $y(2/3) = (2/3)^2(1 - 2/3) = (4/9)(1/3) = 4/27$.
Точка минимума: $(0, 0)$. Точка максимума: $(2/3, 4/27)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Найдем вторую производную: $y'' = (2x - 3x^2)' = 2 - 6x$.
Приравняем вторую производную к нулю: $2 - 6x = 0 \implies x = 1/3$.
Исследуем знак второй производной:
- $(-\infty, 1/3)$: $y''(0) = 2 > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
- $(1/3, +\infty)$: $y''(1) = -4 < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).
В точке $x=1/3$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $y(1/3) = (1/3)^2(1 - 1/3) = (1/9)(2/3) = 2/27$.
Точка перегиба: $(1/3, 2/27)$.

График функции:

Ответ: Функция убывает на $(-\infty, 0] \cup [2/3, +\infty)$, возрастает на $[0, 2/3]$. Точка минимума $(0, 0)$, точка максимума $(2/3, 4/27)$. График вогнутый на $(-\infty, 1/3)$, выпуклый на $(1/3, +\infty)$. Точка перегиба $(1/3, 2/27)$. Пересечение с осями в точках $(0, 0)$ и $(1, 0)$. График представлен выше.

2) $y = (1 - x^2)(2 + x)$

Проведем полное исследование функции $y = 2 + x - 2x^2 - x^3$.

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty, +\infty)$, так как функция является многочленом.

2. Четность и нечетность.
$y(-x) = (1 - (-x)^2)(2 - x) = (1 - x^2)(2 - x) = 2 - x - 2x^2 + x^3$.
$y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y = (1-0)(2+0) = 2$. Точка $(0, 2)$.
С осью Ox: $y=0 \implies (1 - x^2)(2 + x) = 0$. Корни $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=-2$. Точки $(1, 0)$, $(-1, 0)$, $(-2, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты отсутствуют, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-x^3-2x^2+x+2}{x} = -\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$y' = (-x^3 - 2x^2 + x + 2)' = -3x^2 - 4x + 1$.
$y'=0 \implies 3x^2 + 4x - 1 = 0$.
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(3)(-1)}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{7}}{3}$.
Критические точки: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{7}}{3} \approx -1.55$, $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{7}}{3} \approx 0.22$.
Парабола $y' = -3x^2-4x+1$ ветвями вниз, значит $y' > 0$ между корнями и $y' < 0$ вне их.
- Убывает на $(-\infty, \frac{-2 - \sqrt{7}}{3}]$ и $[\frac{-2 + \sqrt{7}}{3}, +\infty)$.
- Возрастает на $[\frac{-2 - \sqrt{7}}{3}, \frac{-2 + \sqrt{7}}{3}]$.
$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{7}}{3}$ - точка минимума. $y(x_1) = \frac{20 - 14\sqrt{7}}{27} \approx -0.63$.
$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{7}}{3}$ - точка максимума. $y(x_2) = \frac{20 + 14\sqrt{7}}{27} \approx 2.11$.
Точка минимума: $(\frac{-2 - \sqrt{7}}{3}, \frac{20 - 14\sqrt{7}}{27})$. Точка максимума: $(\frac{-2 + \sqrt{7}}{3}, \frac{20 + 14\sqrt{7}}{27})$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$y'' = (-3x^2 - 4x + 1)' = -6x - 4$.
$y''=0 \implies -6x - 4 = 0 \implies x = -2/3$.
- $(-\infty, -2/3)$: $y''(-1) = 2 > 0$, график вогнутый.
- $(-2/3, +\infty)$: $y''(0) = -4 < 0$, график выпуклый.
$x = -2/3$ - точка перегиба. $y(-2/3) = (1 - 4/9)(2 - 2/3) = (5/9)(4/3) = 20/27$.
Точка перегиба: $(-2/3, 20/27)$.

График функции:

Ответ: Функция убывает на $(-\infty, \frac{-2 - \sqrt{7}}{3}] \cup [\frac{-2 + \sqrt{7}}{3}, +\infty)$, возрастает на $[\frac{-2 - \sqrt{7}}{3}, \frac{-2 + \sqrt{7}}{3}]$. Точка минимума $(\frac{-2 - \sqrt{7}}{3}, \frac{20 - 14\sqrt{7}}{27})$, точка максимума $(\frac{-2 + \sqrt{7}}{3}, \frac{20 + 14\sqrt{7}}{27})$. График вогнутый на $(-\infty, -2/3)$, выпуклый на $(-2/3, +\infty)$. Точка перегиба $(-2/3, 20/27)$. Пересечение с осями в точках $(-2, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(0, 2)$. График представлен выше.

3) $y = (1 - x^2)(1 - x^3)$

Проведем полное исследование функции $y = x^5 - x^3 - x^2 + 1$.

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$y(-x) = (-x)^5 - (-x)^3 - (-x)^2 + 1 = -x^5 + x^3 - x^2 + 1$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y = 1$. Точка $(0, 1)$.
С осью Ox: $y=0 \implies (1 - x^2)(1 - x^3) = 0 \implies (1-x)(1+x)(1-x)(1+x+x^2)=0$.
Квадратный трехчлен $x^2+x+1$ не имеет действительных корней. Корни: $x_1=-1$ и $x_2=1$ (кратность 2). Точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$. В точке $x=1$ график касается оси.

4. Асимптоты.
Вертикальных и наклонных асимптот нет. $\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$y' = 5x^4 - 3x^2 - 2x = x(5x^3 - 3x - 2)$.
$y'=0 \implies x=0$ или $5x^3 - 3x - 2 = 0$. Подбором находим корень $x=1$. Делением получаем $(x-1)(5x^2+5x+2)=0$. Квадратный трехчлен не имеет действительных корней.Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.
Знак $y'$ определяется выражением $x(x-1)$.
- $(-\infty, 0)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- $(0, 1)$: $y' < 0$, функция убывает.
- $(1, +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
$x=0$ - точка максимума. $y(0) = 1$.
$x=1$ - точка минимума. $y(1) = 0$.
Точка максимума: $(0, 1)$. Точка минимума: $(1, 0)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$y'' = 20x^3 - 6x - 2 = 2(10x^3 - 3x - 1)$.
$y''=0 \implies 10x^3 - 3x - 1 = 0$. Уравнение имеет один действительный корень $x_{inf} \approx 0.66$.
- $(-\infty, x_{inf})$: $y'' < 0$, график выпуклый.
- $(x_{inf}, +\infty)$: $y'' > 0$, график вогнутый.
$x_{inf} \approx 0.66$ - точка перегиба. $y(x_{inf}) \approx 0.40$.
Точка перегиба: $\approx (0.66, 0.40)$.

График функции:

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$, убывает на $[0, 1]$. Точка максимума $(0, 1)$, точка минимума $(1, 0)$. График выпуклый на $(-\infty, x_{inf})$ и вогнутый на $(x_{inf}, +\infty)$, где $x_{inf} \approx 0.66$ - точка перегиба. Пересечение с осями в точках $(-1, 0)$, $(1, 0)$ и $(0, 1)$. График представлен выше.

4) $y = (x - 2)^2(x + 1)^2$

Проведем полное исследование функции $y = ((x-2)(x+1))^2 = (x^2 - x - 2)^2$.

1. Область определения и значения.
$D(y) = (-\infty, +\infty)$. Так как функция является квадратом выражения, $y \ge 0$ для всех $x$. Область значений $E(y) = [0, +\infty)$.

2. Симметрия.
Функция симметрична относительно прямой $x=1/2$ (середина между корнями $-1$ и $2$).

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y = (0-2)^2(0+1)^2 = 4$. Точка $(0, 4)$.
С осью Ox: $y=0 \implies (x-2)^2(x+1)^2=0$. Корни $x_1=2$ и $x_2=-1$ (оба кратности 2). График касается оси Ox в точках $(2, 0)$ и $(-1, 0)$.

4. Асимптоты.
Асимптот нет. $\lim_{x \to \pm\infty} y = +\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$y' = 2(x^2-x-2)(2x-1) = 2(x-2)(x+1)(2x-1)$.
Критические точки: $x_1=-1$, $x_2=1/2$, $x_3=2$.
- $(-\infty, -1)$: $y' < 0$, убывает.
- $(-1, 1/2)$: $y' > 0$, возрастает.
- $(1/2, 2)$: $y' < 0$, убывает.
- $(2, +\infty)$: $y' > 0$, возрастает.
$x=-1$ и $x=2$ - точки минимума. $y(-1)=0, y(2)=0$.
$x=1/2$ - точка максимума. $y(1/2) = (-3/2)^2(3/2)^2 = 81/16 = 5.0625$.
Точки минимума: $(-1, 0)$, $(2, 0)$. Точка максимума: $(1/2, 81/16)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$y'' = 12x^2 - 12x - 6 = 6(2x^2 - 2x - 1)$.
$y''=0 \implies 2x^2 - 2x - 1 = 0$. Корни $x = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$.
Точки перегиба: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \approx -0.366$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \approx 1.366$.
- $(-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$: $y'' > 0$, график вогнутый.
- $(x_1, x_2)$: $y'' < 0$, график выпуклый.
Значение функции в точках перегиба: $y(\frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}) = (\frac{1}{2}-2)^2 = \frac{9}{4}=2.25$.
Точки перегиба: $(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{9}{4})$ и $(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{9}{4})$.

График функции:

Ответ: Функция убывает на $(-\infty, -1] \cup [1/2, 2]$, возрастает на $[-1, 1/2] \cup [2, +\infty)$. Точки минимума $(-1, 0)$ и $(2, 0)$, точка максимума $(1/2, 81/16)$. График вогнутый на $(-\infty, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, +\infty)$ и выпуклый на $(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{1 + \sqrt{3}}{2})$. Точки перегиба $(\frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}, \frac{9}{4})$. Пересечение с осями в точках $(-1, 0)$, $(2, 0)$ и $(0, 4)$. График представлен выше.

7.118. 1) $y = \sqrt{2} - 2\sin^2 x;$

2) $y = 2\text{tg}\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}.$

1) Дана функция $y = \sqrt{2 - 2\sin^2 x}$.

Для начала упростим выражение для функции. Вынесем общий множитель 2 за скобки под корнем:$y = \sqrt{2(1 - \sin^2 x)}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$, получаем:$y = \sqrt{2\cos^2 x}$.

Извлекая корень, получаем:$y = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\cos^2 x} = \sqrt{2}|\cos x|$.Теперь исследуем свойства полученной функции $y = \sqrt{2}|\cos x|$.

Область определения:Выражение под знаком квадратного корня в исходной функции должно быть неотрицательным:$2 - 2\sin^2 x \ge 0$.$2(1 - \sin^2 x) \ge 0$.$1 - \sin^2 x \ge 0$.$\cos^2 x \ge 0$.Это неравенство выполняется для любого действительного значения $x$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.Таким образом, область определения функции – все действительные числа.$D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Область значений:Мы знаем, что значения функции косинус лежат в пределах от -1 до 1: $-1 \le \cos x \le 1$.Следовательно, для модуля косинуса имеем: $0 \le |\cos x| \le 1$.Умножим все части неравенства на $\sqrt{2}$:$0 \cdot \sqrt{2} \le \sqrt{2}|\cos x| \le 1 \cdot \sqrt{2}$$0 \le y \le \sqrt{2}$.Таким образом, область значений функции – отрезок $[0, \sqrt{2}]$.$E(y) = [0, \sqrt{2}]$.

Основной период:Функция $\cos x$ имеет основной период $2\pi$. Функция $|\cos x|$ имеет основной период $\pi$, так как $|\cos(x+\pi)| = |-\cos x| = |\cos x|$.Умножение на постоянный множитель $\sqrt{2}$ не влияет на период функции.Следовательно, основной период функции $y = \sqrt{2}|\cos x|$ равен $\pi$.$T = \pi$.

Ответ: Область определения: $(-\infty, +\infty)$; область значений: $[0, \sqrt{2}]$; основной период: $\pi$.

2) Дана функция $y = 2\tg\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Область определения:Функция тангенс, $\tg(u)$, определена для всех действительных чисел $u$, кроме тех, где $\cos(u) = 0$, то есть $u \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ для всех целых $n \in \mathbb{Z}$.В нашем случае аргумент тангенса $u = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}$.Следовательно, мы должны иметь:$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.Решим это неравенство относительно $x$:$\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n$$\frac{x}{2} \neq \frac{2\pi + \pi}{4} + \pi n$$\frac{x}{2} \neq \frac{3\pi}{4} + \pi n$$x \neq 2\left(\frac{3\pi}{4} + \pi n\right)$$x \neq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.Это и есть область определения функции.

Область значений:Область значений стандартной функции тангенс, $\tg(u)$, – это множество всех действительных чисел, $(-\infty, +\infty)$.Линейные преобразования, такие как умножение на константу (вертикальное растяжение) и сложение с константой (вертикальный сдвиг), не меняют эту область значений.В нашем случае, растяжение по оси Y в 2 раза и сдвиг вниз на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ отображают множество $(-\infty, +\infty)$ на себя.Таким образом, область значений данной функции – все действительные числа.$E(y) = (-\infty, +\infty)$.

Основной период:Основной период функции $\tg(u)$ равен $\pi$.Для функции вида $y = A\tg(kx+b) + C$, основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ – основной период базовой функции $\tg(u)$.В данном случае $T_0 = \pi$ и коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$.$T = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi$.Следовательно, основной период данной функции равен $2\pi$.

Ответ: Область определения: $x \neq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; область значений: $(-\infty, +\infty)$; основной период: $2\pi$.

7.119. 1) $y = \frac{x}{3} + \frac{3}{x}$

2) $y = \frac{3 - x^2}{x + 2}$

3) $y = \frac{x^2}{x - 2}$

4) $y = \frac{x + 2}{x - 1}$

1) Чтобы найти производную функции $y = \frac{x}{3} + \frac{3}{x}$, представим ее в виде $y = \frac{1}{3}x + 3x^{-1}$.
Применим правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$ и правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$y' = (\frac{1}{3}x + 3x^{-1})' = (\frac{1}{3}x)' + (3x^{-1})' = \frac{1}{3} \cdot 1 + 3 \cdot (-1)x^{-1-1} = \frac{1}{3} - 3x^{-2}$.
Преобразуем выражение, избавившись от отрицательной степени, и приведем к общему знаменателю:
$y' = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = \frac{x^2}{3x^2} - \frac{9}{3x^2} = \frac{x^2-9}{3x^2}$.
Ответ: $y' = \frac{x^2-9}{3x^2}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{3-x^2}{x+2}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = 3-x^2$ и $v(x) = x+2$.
Тогда их производные: $u'(x) = -2x$ и $v'(x) = 1$.
Подставим в формулу: $y' = \frac{(-2x)(x+2) - (3-x^2)(1)}{(x+2)^2}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$y' = \frac{-2x^2 - 4x - 3 + x^2}{(x+2)^2} = \frac{-x^2 - 4x - 3}{(x+2)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{-x^2 - 4x - 3}{(x+2)^2}$.

3) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^2}{x-2}$ применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = x-2$.
Их производные: $u'(x) = 2x$ и $v'(x) = 1$.
Подставим в формулу: $y' = \frac{(2x)(x-2) - (x^2)(1)}{(x-2)^2}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$y' = \frac{2x^2 - 4x - x^2}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x}{(x-2)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{x^2-4x}{(x-2)^2}$.

4) Для нахождения производной функции $y = \frac{x+2}{x-1}$ используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = x+2$ и $v(x) = x-1$.
Их производные: $u'(x) = 1$ и $v'(x) = 1$.
Подставим в формулу: $y' = \frac{(1)(x-1) - (x+2)(1)}{(x-1)^2}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$y' = \frac{x - 1 - x - 2}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{3}{(x-1)^2}$.

7.120. Какой сектор нужно вырезать из круга радиусом $R$, чтобы из оставшейся части круга можно было построить конус наибольшего объема?

Решение:

Пусть $R$ — радиус исходного круга. Для построения конуса из круга вырезается сектор, а из оставшейся части формируется боковая поверхность конуса. При этом радиус исходного круга $R$ становится длиной образующей конуса, которую мы обозначим как $l$, то есть $l=R$.

Пусть $r$ и $h$ — радиус основания и высота конуса соответственно. Объём конуса определяется формулой $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Образующая конуса $l$, радиус основания $r$ и высота $h$ связаны теоремой Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$. Так как $l=R$, то $R^2 = r^2 + h^2$, откуда $h = \sqrt{R^2 - r^2}$. Подставим это выражение для $h$ в формулу объёма, чтобы выразить объём как функцию от радиуса основания $r$: $V(r) = \frac{1}{3}\pi r^2 \sqrt{R^2 - r^2}$.

Нам необходимо найти значение $r$ (в диапазоне от $0$ до $R$), при котором объём $V$ будет максимальным. Поскольку объём — величина положительная, его максимум будет достигаться при том же значении $r$, что и максимум его квадрата $V^2$. Это позволяет избавиться от квадратного корня, что упрощает нахождение производной. $V^2(r) = \left(\frac{1}{3}\pi r^2 \sqrt{R^2 - r^2}\right)^2 = \frac{\pi^2}{9} r^4 (R^2 - r^2) = \frac{\pi^2}{9} (R^2 r^4 - r^6)$.

Чтобы найти точку экстремума, найдём производную функции $V^2(r)$ по переменной $r$ и приравняем её к нулю. $\frac{d(V^2)}{dr} = \frac{\pi^2}{9} \frac{d}{dr}(R^2 r^4 - r^6) = \frac{\pi^2}{9} (4R^2 r^3 - 6r^5)$.

Приравниваем производную к нулю. Так как радиус $r$ не может быть равен нулю для невырожденного конуса, мы можем разделить на $r^3$: $\frac{\pi^2}{9} (4R^2 r^3 - 6r^5) = 0$ $4R^2 r^3 - 6r^5 = 0$ $r^3 (4R^2 - 6r^2) = 0$ $4R^2 - 6r^2 = 0$ $6r^2 = 2R^2$ $r^2 = \frac{2}{3}R^2 \implies r = R\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{R\sqrt{6}}{3}$.

Это значение $r$ доставляет максимум объёму, так как на границах области определения ($r=0$ и $r=R$) объём равен нулю.

Теперь определим, какому углу сектора это соответствует. Длина дуги оставшегося сектора (с углом $\alpha$) равна $L = \alpha R$. Эта дуга становится окружностью основания конуса, длина которой равна $2\pi r$. Следовательно, $\alpha R = 2\pi r$. Подставим найденное оптимальное значение $r$: $\alpha R = 2\pi \left(R\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$ $\alpha = 2\pi \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2\pi\sqrt{6}}{3}$ (в радианах).

Это угол $\alpha$ оставшейся части круга, из которой сделан конус. Вопрос задачи состоит в том, какой сектор нужно вырезать. Угол этого сектора $\beta$ равен разности полного угла ($2\pi$ радиан) и угла $\alpha$: $\beta = 2\pi - \alpha = 2\pi - 2\pi \sqrt{\frac{2}{3}} = 2\pi \left(1 - \sqrt{\frac{2}{3}}\right) = 2\pi \left(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right)$ радиан.

В градусной мере этот угол составляет: $\beta_{град} = 360^\circ \left(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right) \approx 360^\circ (1 - 0.8165) \approx 66.06^\circ$.

Ответ: для получения конуса наибольшего объёма из круга радиусом $R$ нужно вырезать сектор с центральным углом $\beta = 2\pi \left(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right)$ радиан, что составляет приблизительно $66.06^\circ$.

7.121. Найдите положительное число $x$, такое, чтобы разность $x - x^2$ принимала наибольшее значение.

Для решения задачи необходимо найти максимальное значение функции $f(x) = x - x^2$ при условии, что $x > 0$. Это задача на нахождение экстремума функции.

Способ 1: С использованием производной

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x - x^2)' = 1 - 2x$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$1 - 2x = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

3. Проверим, является ли эта точка точкой максимума. Для этого можно исследовать знак производной в окрестности точки $x = \frac{1}{2}$.

При $x < \frac{1}{2}$ (например, $x=0.1$), $f'(x) = 1 - 2(0.1) = 0.8 > 0$, значит, функция возрастает.

При $x > \frac{1}{2}$ (например, $x=1$), $f'(x) = 1 - 2(1) = -1 < 0$, значит, функция убывает.

Поскольку при переходе через точку $x = \frac{1}{2}$ производная меняет знак с «+» на «−», эта точка является точкой максимума. Условие $x > 0$ выполняется, так как $\frac{1}{2} > 0$.

Также можно использовать вторую производную:

$f''(x) = (1-2x)' = -2$

Поскольку $f''(\frac{1}{2}) = -2 < 0$, точка $x = \frac{1}{2}$ является точкой максимума.

Способ 2: Свойства квадратичной функции

Функция $f(x) = x - x^2$ или $f(x) = -x^2 + x$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -1). Следовательно, функция имеет наибольшее значение в вершине параболы.

Координата $x_0$ вершины параболы вида $y=ax^2+bx+c$ находится по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае $a=-1$ и $b=1$. Подставим эти значения в формулу:

$x_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$

Это значение $x$ положительно, значит, оно удовлетворяет условию задачи.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

7.122. Материальная точка движется прямолинейно по закону:

$s(t) = 5t + 2t^2 - \frac{2}{3}t^3$. Здесь $s(t)$ измеряется в метрах, а время $t$ – в секундах. В какой момент времени скорость материальной точки будет наибольшей?

Закон движения материальной точки задан уравнением: $s(t) = 5t + 2t^2 - \frac{2}{3}t^3$. В условии задачи $s$ измеряется в метрах, а $t$ в секундах.

Скорость материальной точки является первой производной от пути по времени. Найдем функцию скорости $v(t)$, взяв производную от функции $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(5t + 2t^2 - \frac{2}{3}t^3)$

$v(t) = 5 \cdot 1 + 2 \cdot 2t - \frac{2}{3} \cdot 3t^2$

$v(t) = 5 + 4t - 2t^2$

Таким образом, зависимость скорости от времени описывается квадратичной функцией $v(t) = -2t^2 + 4t + 5$.

Чтобы найти момент времени, в который скорость будет наибольшей, необходимо найти точку максимума функции $v(t)$. Поскольку функция $v(t)$ является параболой, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $t^2$ равен $-2$, что меньше нуля), ее максимум находится в вершине параболы.

Координату $t_0$ вершины параболы вида $y = at^2+bt+c$ находят по формуле $t_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае, для функции $v(t) = -2t^2 + 4t + 5$, коэффициенты равны $a = -2$ и $b = 4$.

Подставим значения в формулу:

$t = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$

Также можно найти максимум функции, вычислив ее производную (которая представляет собой ускорение $a(t)$) и приравняв ее к нулю:

$a(t) = v'(t) = (-2t^2 + 4t + 5)' = -4t + 4$

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:

$-4t + 4 = 0$

$4t = 4$

$t = 1$

Чтобы убедиться, что это точка максимума, можно проверить знак второй производной $v''(t)$.

$v''(t) = a'(t) = (-4t + 4)' = -4$

Поскольку $v''(1) = -4 < 0$, в точке $t=1$ функция скорости $v(t)$ достигает своего максимума.

Таким образом, скорость материальной точки будет наибольшей в момент времени $t=1$ с.

Ответ: 1 с.

7.123. Даны два прожектора, расстояние между которыми равно 30 м, и соотношение мощности освещения которых равно $27 : 8$. В какой точке отрезка, соединяющего эти прожекторы, освещенность наименьшая?

Пусть два прожектора расположены на оси $Ox$. Пусть первый, более мощный прожектор, находится в точке с координатой $x_1 = 0$, а второй, менее мощный, — в точке с координатой $x_2 = 30$ м.

Пусть мощности (силы света) прожекторов равны $P_1$ и $P_2$. Согласно условию, их соотношение составляет $P_1 : P_2 = 27 : 8$. Мы можем принять, что $P_1 = 27k$ и $P_2 = 8k$, где $k$ — некоторый положительный коэффициент.

Освещенность $E$, создаваемая точечным источником света, прямо пропорциональна его мощности $P$ и обратно пропорциональна квадрату расстояния $r$ до источника. Это выражается формулой $E = \frac{C \cdot P}{r^2}$, где $C$ — постоянный коэффициент.

Рассмотрим произвольную точку на отрезке, соединяющем прожекторы. Пусть ее координата равна $x$, причем $0 < x < 30$.
Расстояние от этой точки до первого (более мощного) прожектора равно $r_1 = x$.
Расстояние до второго (менее мощного) прожектора равно $r_2 = 30 - x$.

Общая освещенность в точке с координатой $x$ является суммой освещенностей от каждого из прожекторов:$E(x) = E_1(x) + E_2(x) = \frac{C \cdot P_1}{r_1^2} + \frac{C \cdot P_2}{r_2^2} = C \left( \frac{27k}{x^2} + \frac{8k}{(30-x)^2} \right)$.

Чтобы определить точку с наименьшей освещенностью, нам необходимо найти значение $x$, при котором функция $E(x)$ достигает своего минимума на интервале $(0, 30)$. Так как $C$ и $k$ являются положительными константами, задача сводится к минимизации функции:$f(x) = \frac{27}{x^2} + \frac{8}{(30-x)^2}$.

Для нахождения точки минимума вычислим производную функции $f(x)$ по переменной $x$:$f'(x) = \left( 27x^{-2} + 8(30-x)^{-2} \right)' = 27(-2)x^{-3} + 8(-2)(30-x)^{-3} \cdot (-1) = -\frac{54}{x^3} + \frac{16}{(30-x)^3}$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$f'(x) = 0$
$-\frac{54}{x^3} + \frac{16}{(30-x)^3} = 0$
$\frac{16}{(30-x)^3} = \frac{54}{x^3}$

Разделим обе части уравнения на 2:$\frac{8}{(30-x)^3} = \frac{27}{x^3}$

Извлечем кубический корень из обеих частей:$\sqrt[3]{\frac{8}{(30-x)^3}} = \sqrt[3]{\frac{27}{x^3}}$
$\frac{2}{30-x} = \frac{3}{x}$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:$2x = 3(30-x)$
$2x = 90 - 3x$
$5x = 90$
$x = \frac{90}{5} = 18$

Критическая точка $x=18$ находится внутри рассматриваемого интервала $(0, 30)$. Это означает, что точка наименьшей освещенности находится на расстоянии 18 м от более мощного прожектора и, соответственно, на расстоянии $30 - 18 = 12$ м от менее мощного.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, исследуем знак производной $f'(x)$ в окрестности точки $x=18$.
При $x < 18$ (например, $x=10$), производная $f'(10) = -\frac{54}{10^3} + \frac{16}{20^3} = -0.054 + 0.002 < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.
При $x > 18$ (например, $x=20$), производная $f'(20) = -\frac{54}{20^3} + \frac{16}{10^3} = -0.00675 + 0.016 > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.
Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку $x=18$, эта точка является точкой локального минимума. Так как это единственная критическая точка на интервале, она является точкой абсолютного минимума.

Ответ: Наименьшая освещенность будет в точке на отрезке, соединяющем прожекторы, которая находится на расстоянии 18 м от более мощного прожектора и 12 м от менее мощного.