Страница 223 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.93. Сколько корней имеет уравнение:

1) $x^3 - 6x^2 - 15x + 2 = 0$;

2) $3x^2 - x^3 - 2 = 0$;

3) $2x^3 - 6x^2 - 48x - 17 = 0$;

4) $4x - x^4 = 0?$

1) Для того чтобы найти количество корней уравнения $x^3 - 6x^2 - 15x + 2 = 0$, исследуем функцию $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 2$ с помощью производной.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 - 15x + 2)' = 3x^2 - 12x - 15$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 12x - 15 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение, например, разложением на множители:

$(x-5)(x+1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Это точки экстремумов функции.

Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; -1)$, $(-1; 5)$ и $(5; +\infty)$.

При $x < -1$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

При $-1 < x < 5$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

При $x > 5$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Следовательно, $x = -1$ — точка локального максимума, а $x = 5$ — точка локального минимума.

Найдем значения функции в этих точках (значения экстремумов):

$f_{max} = f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 - 15(-1) + 2 = -1 - 6 + 15 + 2 = 10$.

$f_{min} = f(5) = 5^3 - 6(5)^2 - 15(5) + 2 = 125 - 150 - 75 + 2 = -98$.

Так как локальный максимум ($10$) положителен, а локальный минимум ($-98$) отрицателен, график функции $f(x)$ пересекает ось абсцисс три раза. Это следует из того, что функция возрастает от $-\infty$ до положительного максимума (один корень), затем убывает до отрицательного минимума (второй корень), и снова возрастает до $+\infty$ (третий корень).

Ответ: 3 корня.

2) Рассмотрим уравнение $3x^2 - x^3 - 2 = 0$. Перепишем его в стандартном виде $-x^3 + 3x^2 - 2 = 0$.

Исследуем функцию $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2$.

Найдем производную:

$f'(x) = (-x^3 + 3x^2 - 2)' = -3x^2 + 6x$.

Найдем критические точки:

$-3x^2 + 6x = 0$

$-3x(x - 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Определим знаки производной. График $f'(x)$ — парабола с ветвями вниз.

При $x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

При $0 < x < 2$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

При $x > 2$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

Следовательно, $x = 0$ — точка локального минимума, а $x = 2$ — точка локального максимума.

Найдем значения функции в точках экстремума:

$f_{min} = f(0) = -0^3 + 3(0)^2 - 2 = -2$.

$f_{max} = f(2) = -2^3 + 3(2)^2 - 2 = -8 + 12 - 2 = 2$.

Локальный минимум ($-2$) отрицателен, а локальный максимум ($2$) положителен. Это означает, что график функции пересекает ось абсцисс три раза. Функция убывает от $+\infty$ до отрицательного минимума (первый корень), возрастает до положительного максимума (второй корень), и снова убывает до $-\infty$ (третий корень).

Ответ: 3 корня.

3) Рассмотрим уравнение $2x^3 - 6x^2 - 48x - 17 = 0$.

Исследуем функцию $f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 48x - 17$.

Найдем производную:

$f'(x) = (2x^3 - 6x^2 - 48x - 17)' = 6x^2 - 12x - 48$.

Найдем критические точки:

$6x^2 - 12x - 48 = 0$

Разделим уравнение на 6:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

$(x-4)(x+2) = 0$

Критические точки: $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.

Определим знаки производной. График $f'(x)$ — парабола с ветвями вверх.

При $x < -2$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

При $-2 < x < 4$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

При $x > 4$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Следовательно, $x = -2$ — точка локального максимума, а $x = 4$ — точка локального минимума.

Найдем значения функции в этих точках:

$f_{max} = f(-2) = 2(-2)^3 - 6(-2)^2 - 48(-2) - 17 = 2(-8) - 6(4) + 96 - 17 = -16 - 24 + 96 - 17 = 39$.

$f_{min} = f(4) = 2(4)^3 - 6(4)^2 - 48(4) - 17 = 2(64) - 6(16) - 192 - 17 = 128 - 96 - 192 - 17 = -177$.

Так как локальный максимум ($39$) положителен, а локальный минимум ($-177$) отрицателен, график функции пересекает ось абсцисс три раза. Функция возрастает от $-\infty$ до положительного максимума (один корень), убывает до отрицательного минимума (второй корень), и снова возрастает до $+\infty$ (третий корень).

Ответ: 3 корня.

4) Рассмотрим уравнение $4x - x^4 = 0$.

Для решения этого уравнения можно разложить левую часть на множители:

$x(4 - x^3) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы имеем два случая:

1. $x = 0$. Это первый корень.

2. $4 - x^3 = 0$, откуда $x^3 = 4$. Это уравнение имеет один действительный корень $x = \sqrt[3]{4}$.

Таким образом, уравнение имеет два различных действительных корня: $0$ и $\sqrt[3]{4}$.

Ответ: 2 корня.

7.94. Напишите уравнение касательной к кривой $y = \sqrt{2-5x}$ в точке ее пересечения с осью ординат.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Сначала найдем точку касания. По условию, это точка пересечения кривой $y = \sqrt{2-5x}$ с осью ординат. Абсцисса любой точки на оси ординат равна нулю, следовательно, абсцисса точки касания $x_0 = 0$.

Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 0$ в уравнение функции:$y_0 = f(0) = \sqrt{2 - 5 \cdot 0} = \sqrt{2}$.Таким образом, точка касания имеет координаты $(0; \sqrt{2})$.

2. Теперь найдем производную функции $f(x) = \sqrt{2-5x}$. Производная функции определяет угловой коэффициент касательной в любой точке. Используя правило дифференцирования сложной функции:$f'(x) = (\sqrt{2-5x})' = \frac{1}{2\sqrt{2-5x}} \cdot (2-5x)' = \frac{1}{2\sqrt{2-5x}} \cdot (-5) = -\frac{5}{2\sqrt{2-5x}}$.

3. Вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 0$, чтобы найти угловой коэффициент $k$ касательной:$k = f'(0) = -\frac{5}{2\sqrt{2 - 5 \cdot 0}} = -\frac{5}{2\sqrt{2}}$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = 0$, $y_0 = f(x_0) = \sqrt{2}$ и $k = f'(x_0) = -\frac{5}{2\sqrt{2}}$ в общую формулу уравнения касательной:$y = \sqrt{2} + (-\frac{5}{2\sqrt{2}})(x - 0)$.

Упростим полученное уравнение:$y = \sqrt{2} - \frac{5}{2\sqrt{2}}x$.

Для более стандартной формы записи избавимся от иррациональности в знаменателе коэффициента при $x$:$k = -\frac{5}{2\sqrt{2}} = -\frac{5 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{5\sqrt{2}}{4}$.

Тогда искомое уравнение касательной принимает вид:$y = -\frac{5\sqrt{2}}{4}x + \sqrt{2}$.

Ответ: $y = -\frac{5\sqrt{2}}{4}x + \sqrt{2}$.

7.95. Напишите уравнение касательной к кривой $y = 2x^3 - 3x^2 + 6x$, параллельной прямой $6x - y = 5$.

Уравнение касательной к кривой $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Сначала найдем угловой коэффициент $k$ для данной прямой $6x - y = 5$. Для этого преобразуем уравнение к виду $y = kx + b$:

$y = 6x - 5$

Отсюда видно, что угловой коэффициент данной прямой $k = 6$.

Поскольку искомая касательная параллельна этой прямой, ее угловой коэффициент также должен быть равен $6$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке: $k = y'(x_0)$. Найдем производную функции $y = 2x^3 - 3x^2 + 6x$:

$y' = (2x^3 - 3x^2 + 6x)' = 2 \cdot 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} + 6 \cdot 1 = 6x^2 - 6x + 6$.

Теперь приравняем производную к угловому коэффициенту $k=6$, чтобы найти абсциссы $x_0$ точек касания:

$6x_0^2 - 6x_0 + 6 = 6$

$6x_0^2 - 6x_0 = 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$6x_0(x_0 - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_{01} = 0$ и $x_{02} = 1$. Это означает, что существуют две точки на кривой, в которых касательная параллельна прямой $6x - y = 5$.

Найдем ординаты этих точек касания, подставив найденные значения $x_0$ в исходное уравнение кривой $y = 2x^3 - 3x^2 + 6x$:

1. Для $x_0 = 0$: $y_0 = 2(0)^3 - 3(0)^2 + 6(0) = 0$. Первая точка касания – $(0, 0)$.

2. Для $x_0 = 1$: $y_0 = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 6(1) = 2 - 3 + 6 = 5$. Вторая точка касания – $(1, 5)$.

Теперь напишем уравнения касательных для каждой из этих точек, используя формулу $y - y_0 = k(x - x_0)$ и угловой коэффициент $k=6$.

1. Для точки $(0, 0)$:

$y - 0 = 6(x - 0)$

$y = 6x$

2. Для точки $(1, 5)$:

$y - 5 = 6(x - 1)$

$y - 5 = 6x - 6$

$y = 6x - 1$

Таким образом, мы нашли два уравнения касательных, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: $y = 6x$ и $y = 6x - 1$.

7.96. Существует ли касательная к кривой $y = \sqrt{x^2 + 1}$, которая параллельна прямой $y = x$?

Для того чтобы касательная к кривой была параллельна некоторой прямой, их угловые коэффициенты должны быть равны. Угловой коэффициент прямой $y = x$ равен $k_1 = 1$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке: $k_2 = f'(x_0)$.

Чтобы касательная была параллельна прямой $y = x$, необходимо, чтобы их угловые коэффициенты были равны, то есть $f'(x_0) = 1$.

Найдем производную функции $y = \sqrt{x^2 + 1}$. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$y' = (\sqrt{x^2 + 1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Теперь решим уравнение $y' = 1$, чтобы найти абсциссу возможной точки касания:

$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = 1$

Чтобы это уравнение могло иметь решение, $x$ должен быть положительным, так как правая часть уравнения положительна, а знаменатель $\sqrt{x^2+1}$ всегда положителен. При $x > 0$ можно возвести обе части в квадрат:

$(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}})^2 = 1^2$

$\frac{x^2}{x^2 + 1} = 1$

Умножим обе части на $x^2 + 1$ (это выражение всегда больше 0):

$x^2 = x^2 + 1$

$0 = 1$

Мы пришли к неверному равенству. Это означает, что уравнение $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = 1$ не имеет решений. Следовательно, не существует точки на кривой $y = \sqrt{x^2 + 1}$, в которой касательная имела бы угловой коэффициент, равный 1.

Таким образом, не существует касательной к данной кривой, которая была бы параллельна прямой $y=x$.

Ответ: нет, не существует.

7.97. Найдите промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции:

1) $y = x^3 - 6x^2 - 15x + 2;$

2) $y = \sin^4 x + \cos^4 x.$

1) $y = x^3 - 6x^2 - 15x + 2$

Для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции. Данная функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найти производную функции.$y' = (x^3 - 6x^2 - 15x + 2)' = 3x^2 - 12x - 15$.

3. Найти критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае производная существует для всех $x$. Приравняем производную к нулю:$3x^2 - 12x - 15 = 0$.Разделим обе части уравнения на 3:$x^2 - 4x - 5 = 0$.Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно -5. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.Это и есть критические точки.

4. Отметим критические точки на числовой оси и определим знаки производной на полученных интервалах: $(-\infty; -1)$, $(-1; 5)$ и $(5; +\infty)$.Графиком производной $y' = 3x^2 - 12x - 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх.
- На интервале $(-\infty; -1)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=-2$, $y'(-2)=21$), значит, функция $y$ возрастает.
- На интервале $(-1; 5)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=0$, $y'(0)=-15$), значит, функция $y$ убывает.
- На интервале $(5; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=6$, $y'(6)=21$), значит, функция $y$ возрастает.

5. Определим точки экстремума.В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $x_{max} = -1$.В точке $x = 5$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $x_{min} = 5$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[5; +\infty)$, убывает на промежутке $[-1; 5]$, точка максимума $x_{max} = -1$, точка минимума $x_{min} = 5$.

2) $y = \sin^4x + \cos^4x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Для удобства анализа упростим выражение для функции. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулами двойного угла:$y = \sin^4x + \cos^4x = (\sin^2x)^2 + (\cos^2x)^2 = (\sin^2x + \cos^2x)^2 - 2\sin^2x\cos^2x$
$y = 1 - 2(\sin x \cos x)^2 = 1 - 2\left(\frac{\sin(2x)}{2}\right)^2 = 1 - \frac{\sin^2(2x)}{2}$.
Теперь применим формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:
$y = 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{1 - \cos(4x)}{2}\right) = 1 - \frac{1 - \cos(4x)}{4} = \frac{4 - (1 - \cos(4x))}{4} = \frac{3 + \cos(4x)}{4}$.
Таким образом, $y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)$.

3. Найдем производную функции:$y' = \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)\right)' = 0 + \frac{1}{4}(-\sin(4x) \cdot 4) = -\sin(4x)$.

4. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:$-\sin(4x) = 0 \implies \sin(4x) = 0$.
$4x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$ (любое целое число).
$x = \frac{n\pi}{4}$, $n \in \mathbb{Z}$.

5. Определим интервалы возрастания и убывания.Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $-\sin(4x) > 0$, что эквивалентно $\sin(4x) < 0$.Это неравенство выполняется, когда $\pi + 2\pi n < 4x < 2\pi + 2\pi n$.Разделив на 4, получаем: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $-\sin(4x) < 0$, что эквивалентно $\sin(4x) > 0$.Это неравенство выполняется, когда $2\pi n < 4x < \pi + 2\pi n$.Разделив на 4, получаем: $\frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

6. Определим точки экстремума.Точки максимума находятся там, где производная меняет знак с «+» на «-». Это происходит в точках, где начинается интервал убывания, то есть в точках $x = \frac{n\pi}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Точки минимума находятся там, где производная меняет знак с «-» на «+». Это происходит в точках, где начинается интервал возрастания, то есть в точках $x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $\left[\frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}; \frac{\pi}{2} + \frac{n\pi}{2}\right], n \in \mathbb{Z}$, убывает на промежутках $\left[\frac{n\pi}{2}; \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}\right], n \in \mathbb{Z}$, точки максимума $x_{max} = \frac{n\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}$, точки минимума $x_{min} = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

7.98. Вычислите:

1) $432 + 72 + 12 + \dots + 2;$

2) $512 + 256 + 128 + \dots + 2.$

1) Данная последовательность чисел $432, 72, 12, \dots, 2$ представляет собой конечную геометрическую прогрессию. Чтобы найти сумму, сначала определим её параметры.

Первый член прогрессии $b_1 = 432$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{72}{432} = \frac{1}{6}$

Проверим, разделив третий член на второй:

$q = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$

Знаменатель постоянен. Последний член прогрессии $b_n = 2$.

Теперь найдем количество членов прогрессии $n$, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$2 = 432 \cdot (\frac{1}{6})^{n-1}$

Разделим обе части на 432:

$\frac{2}{432} = (\frac{1}{6})^{n-1}$

$\frac{1}{216} = (\frac{1}{6})^{n-1}$

Поскольку $216 = 6^3$, мы можем переписать левую часть как $(\frac{1}{6})^3$:

$(\frac{1}{6})^3 = (\frac{1}{6})^{n-1}$

Отсюда следует, что показатели степени равны: $3 = n-1$, а значит $n = 4$.

Сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$:

$S_4 = \frac{432(1 - (\frac{1}{6})^4)}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{432(1 - \frac{1}{1296})}{\frac{5}{6}} = \frac{432(\frac{1295}{1296})}{\frac{5}{6}}$

$S_4 = 432 \cdot \frac{1295}{1296} \cdot \frac{6}{5} = \frac{432 \cdot 6}{1296} \cdot \frac{1295}{5} = \frac{2592}{1296} \cdot 259 = 2 \cdot 259 = 518$

Поскольку членов всего четыре, можно проверить результат прямым сложением: $432 + 72 + 12 + 2 = 518$.

Ответ: 518.

2) Данная последовательность чисел $512, 256, 128, \dots, 2$ также является конечной геометрической прогрессией.

Первый член прогрессии $b_1 = 512$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{256}{512} = \frac{1}{2}$

Проверим на следующей паре:

$q = \frac{128}{256} = \frac{1}{2}$

Знаменатель постоянен. Последний член прогрессии $b_n = 2$.

Найдем количество членов прогрессии $n$ по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$2 = 512 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

$\frac{2}{512} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

$\frac{1}{256} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Поскольку $256 = 2^8$, левую часть можно записать как $(\frac{1}{2})^8$:

$(\frac{1}{2})^8 = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Приравнивая показатели степени, получаем: $8 = n-1$, откуда $n = 9$.

Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$:

$S_9 = \frac{512(1 - (\frac{1}{2})^9)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{512(1 - \frac{1}{512})}{\frac{1}{2}} = \frac{512(\frac{511}{512})}{\frac{1}{2}}$

$S_9 = \frac{511}{\frac{1}{2}} = 511 \cdot 2 = 1022$

Ответ: 1022.

7.99. Вычислите tgx, если $\cos 2x = -\frac{5}{13}$ и $x \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$.

Для вычисления значения $tgx$ можно использовать формулу косинуса двойного угла, выраженную через тангенс половинного угла:

$cos(2x) = \frac{1 - tg^2x}{1 + tg^2x}$

В условии дано, что $cos(2x) = -\frac{5}{13}$. Подставим это значение в формулу:

$-\frac{5}{13} = \frac{1 - tg^2x}{1 + tg^2x}$

Чтобы решить это уравнение относительно $tgx$, можно ввести временную замену $t = tg^2x$. Обратите внимание, что $t \ge 0$, так как это квадрат величины.

$-\frac{5}{13} = \frac{1 - t}{1 + t}$

Теперь решим полученное уравнение. Умножим обе части на $13(1+t)$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что $1+t \ne 0$, что верно, так как $t \ge 0$):

$-5(1 + t) = 13(1 - t)$

Раскроем скобки:

$-5 - 5t = 13 - 13t$

Перенесем все слагаемые с переменной $t$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$13t - 5t = 13 + 5$

$8t = 18$

$t = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$

Теперь вернемся к исходной переменной, вспомнив, что $t = tg^2x$:

$tg^2x = \frac{9}{4}$

Из этого уравнения следует, что $tgx$ может принимать два значения:

$tgx = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ или $tgx = -\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{3}{2}$

Чтобы определить правильный знак для $tgx$, обратимся к условию на переменную $x$: $x \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$. Этот интервал соответствует третьей координатной четверти. В третьей четверти и синус, и косинус имеют отрицательные значения. Тангенс угла, определяемый как отношение синуса к косинусу ($tgx = \frac{sinx}{cosx}$), в этой четверти будет положительным (частное двух отрицательных чисел).

Следовательно, мы должны выбрать положительное значение для $tgx$.

$tgx = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

7.100. Решите уравнение:

1) $|x - 3| + 2|x + 1| = 4;$

2) $|3x + 1| + x = 9.$

1) $|x - 3| + 2|x + 1| = 4$

Для решения этого уравнения с модулями используем метод интервалов. Сначала найдем точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль.

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

$x + 1 = 0 \implies x = -1$

Эти точки, -1 и 3, разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1)$, $[-1; 3)$ и $[3; +\infty)$. Рассмотрим уравнение на каждом из этих интервалов.

Случай 1: $x < -1$

На этом интервале оба выражения под модулем отрицательны: $x - 3 < 0$ и $x + 1 < 0$. Следовательно, мы раскрываем модули со знаком минус: $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$ и $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(-x + 3) + 2(-x - 1) = 4$

$-x + 3 - 2x - 2 = 4$

$-3x + 1 = 4$

$-3x = 3$

$x = -1$

Полученное значение $x = -1$ не входит в рассматриваемый интервал $x < -1$, поэтому на этом интервале решений нет.

Случай 2: $-1 \le x < 3$

На этом интервале выражение $x - 3$ отрицательно, а выражение $x + 1$ неотрицательно. Таким образом, $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$ и $|x + 1| = x + 1$.

Уравнение принимает вид:

$(-x + 3) + 2(x + 1) = 4$

$-x + 3 + 2x + 2 = 4$

$x + 5 = 4$

$x = -1$

Полученное значение $x = -1$ принадлежит рассматриваемому промежутку $[-1; 3)$, следовательно, является корнем уравнения.

Случай 3: $x \ge 3$

На этом интервале оба выражения под модулем неотрицательны: $x - 3 \ge 0$ и $x + 1 > 0$. Следовательно, $|x - 3| = x - 3$ и $|x + 1| = x + 1$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 3) + 2(x + 1) = 4$

$x - 3 + 2x + 2 = 4$

$3x - 1 = 4$

$3x = 5$

$x = \frac{5}{3}$

Полученное значение $x = \frac{5}{3}$ (что примерно равно 1.67) не принадлежит рассматриваемому промежутку $x \ge 3$, поэтому не является корнем.

Объединяя результаты всех случаев, мы получаем единственный корень уравнения.

Ответ: $x = -1$.

2) $|3x + 1| + x = 9$

Для решения этого уравнения также раскроем модуль, рассмотрев два случая. Найдем точку, в которой подмодульное выражение обращается в ноль.

$3x + 1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}$.

Эта точка делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty; -\frac{1}{3})$ и $[-\frac{1}{3}; +\infty)$.

Случай 1: $x < -\frac{1}{3}$

На этом интервале выражение под модулем отрицательно: $3x + 1 < 0$. Поэтому $|3x + 1| = -(3x + 1) = -3x - 1$.

Подставим в уравнение:

$(-3x - 1) + x = 9$

$-2x - 1 = 9$

$-2x = 10$

$x = -5$

Полученное значение $x = -5$ удовлетворяет условию $x < -\frac{1}{3}$, следовательно, является корнем уравнения.

Случай 2: $x \ge -\frac{1}{3}$

На этом интервале выражение под модулем неотрицательно: $3x + 1 \ge 0$. Поэтому $|3x + 1| = 3x + 1$.

Подставим в уравнение:

$(3x + 1) + x = 9$

$4x + 1 = 9$

$4x = 8$

$x = 2$

Полученное значение $x = 2$ удовлетворяет условию $x \ge -\frac{1}{3}$, следовательно, также является корнем уравнения.

Таким образом, данное уравнение имеет два корня.

Ответ: -5; 2.