Страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.72. Задайте функцию $f(x)$, если:

1) $f'(x) = 2x - 1$;

2) $f'(x) = \sin 5x$;

3) $f'(x) = x^2 - 2x + 1$;

4) $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 2 \cos \frac{x}{2}$.

1) Чтобы задать функцию $f(x)$, зная её производную $f'(x) = 2x - 1$, необходимо найти первообразную (неопределённый интеграл) от данной производной.
$f(x) = \int f'(x) dx = \int (2x - 1) dx$
Используя правила интегрирования, находим:
$f(x) = \int 2x dx - \int 1 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = x^2 - x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $f(x) = x^2 - x + C$.

2) Найдём функцию $f(x)$, интегрируя её производную $f'(x) = \sin 5x$.
$f(x) = \int \sin 5x dx$
Для вычисления этого интеграла используется стандартная формула $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$.
В данном случае $k=5$, поэтому:
$f(x) = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $f(x) = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C$.

3) Для производной $f'(x) = x^2 - 2x + 1$ функция $f(x)$ находится путём интегрирования.
$f(x) = \int (x^2 - 2x + 1) dx$
Интегрируем выражение почленно, используя формулу для степенной функции:
$f(x) = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + x + C = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Альтернативно, можно заметить, что $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Тогда $f(x) = \int (x-1)^2 dx = \frac{(x-1)^3}{3} + C$, что является эквивалентной формой ответа.
Ответ: $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C$.

4) Для производной $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 2\cos\frac{x}{2}$ функция $f(x)$ находится как сумма интегралов.
$f(x) = \int \left(\frac{1}{\sqrt{x}} + 2\cos\frac{x}{2}\right) dx = \int x^{-1/2} dx + 2\int \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx$
Вычисляем каждый интеграл:
Первый интеграл: $\int x^{-1/2} dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$.
Второй интеграл: $2\int \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx = 2 \cdot \frac{\sin(x/2)}{1/2} = 4\sin\left(\frac{x}{2}\right)$.
Складывая результаты и добавляя общую константу интегрирования $C$, получаем:
$f(x) = 2\sqrt{x} + 4\sin\left(\frac{x}{2}\right) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $f(x) = 2\sqrt{x} + 4\sin\left(\frac{x}{2}\right) + C$.

7.73. Решите неравенство $f'(x) > 0$:

1) $f(x) = \sqrt{2x} + 2 \cos^2 x$;

2) $f(x) = \sin 2x - \sqrt{3}x$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{2}x + 2\cos^2 x$.

Для того чтобы решить неравенство $f'(x) > 0$, сначала найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (\sqrt{2}x + 2\cos^2 x)' = (\sqrt{2}x)' + (2\cos^2 x)'$.

Производная первого слагаемого: $(\sqrt{2}x)' = \sqrt{2}$.

Для нахождения производной второго слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции: $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$.

$(2\cos^2 x)' = 2 \cdot 2\cos^{2-1} x \cdot (\cos x)' = 4\cos x \cdot (-\sin x) = -4\sin x \cos x$.

Применим формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$-4\sin x \cos x = -2(2\sin x \cos x) = -2\sin(2x)$.

Таким образом, производная функции равна:

$f'(x) = \sqrt{2} - 2\sin(2x)$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\sqrt{2} - 2\sin(2x) > 0$

$\sqrt{2} > 2\sin(2x)$

$\sin(2x) < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Пусть $t = 2x$. Неравенство принимает вид $\sin t < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства является совокупность интервалов:

$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 2x$:

$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Разделим все части двойного неравенства на 2:

$-\frac{5\pi}{8} + \pi k < x < \frac{\pi}{8} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{8} + \pi k; \frac{\pi}{8} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = \sin 2x - \sqrt{3}x$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (\sin 2x - \sqrt{3}x)' = (\sin 2x)' - (\sqrt{3}x)'$.

Производная первого слагаемого (сложная функция): $(\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

Производная второго слагаемого: $(\sqrt{3}x)' = \sqrt{3}$.

Таким образом, производная функции равна:

$f'(x) = 2\cos(2x) - \sqrt{3}$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$2\cos(2x) - \sqrt{3} > 0$

$2\cos(2x) > \sqrt{3}$

$\cos(2x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Пусть $t = 2x$. Неравенство принимает вид $\cos t > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства является совокупность интервалов:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 2x$:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим все части двойного неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{12} + \pi k < x < \frac{\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{12} + \pi k; \frac{\pi}{12} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

7.74. Найдите коэффициент при $x^3$:

1) $(3x - 5)^{10}$;

2) $(2x - x^2)^{10}$.

1) Для нахождения коэффициента при $x^3$ в разложении $(3x - 5)^{10}$ воспользуемся формулой бинома Ньютона:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.
В нашем случае $a = 3x$, $b = -5$ и $n = 10$. Общий член разложения $T_{k+1}$ (k+1-й член) имеет вид:
$T_{k+1} = C_{10}^k (3x)^{10-k} (-5)^k = C_{10}^k 3^{10-k} x^{10-k} (-5)^k$.
Мы ищем член, в котором переменная $x$ имеет степень 3. Для этого показатель степени при $x$ должен быть равен 3:
$10-k = 3$
Отсюда находим $k$:
$k = 10 - 3 = 7$.
Теперь, зная $k=7$, мы можем вычислить коэффициент этого члена. Коэффициент равен $C_{10}^k 3^{10-k} (-5)^k$. Подставим $k=7$:
Коэффициент = $C_{10}^7 \cdot 3^{10-7} \cdot (-5)^7 = C_{10}^7 \cdot 3^3 \cdot (-5)^7$.
Вычислим каждую часть отдельно:
Биномиальный коэффициент $C_{10}^7 = C_{10}^{10-7} = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.
$3^3 = 27$.
$(-5)^7 = -78125$.
Теперь перемножим все полученные значения, чтобы найти искомый коэффициент:
$120 \cdot 27 \cdot (-78125) = 3240 \cdot (-78125) = -253125000$.
Ответ: $-253125000$.

2) Для нахождения коэффициента при $x^3$ в разложении $(2x - x^2)^{10}$ также применим формулу бинома Ньютона.
В этом случае $a = 2x$, $b = -x^2$ и $n = 10$. Общий член разложения имеет вид:
$T_{k+1} = C_{10}^k (2x)^{10-k} (-x^2)^k = C_{10}^k \cdot 2^{10-k} \cdot x^{10-k} \cdot (-1)^k \cdot (x^2)^k$.
Упростим выражение, найдя общую степень переменной $x$:
$x^{10-k} \cdot (x^2)^k = x^{10-k} \cdot x^{2k} = x^{10-k+2k} = x^{10+k}$.
Таким образом, общий член разложения выглядит как $T_{k+1} = C_{10}^k \cdot 2^{10-k} \cdot (-1)^k \cdot x^{10+k}$.
Нам нужен член, содержащий $x^3$, поэтому приравниваем показатель степени $x$ к 3:
$10+k = 3$
$k = 3 - 10 = -7$.
В формуле бинома Ньютона $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, индекс $k$ должен быть целым неотрицательным числом, удовлетворяющим условию $0 \le k \le n$. В нашем случае $0 \le k \le 10$.
Поскольку полученное значение $k=-7$ не принадлежит этому диапазону, это означает, что в разложении данного бинома нет члена, содержащего $x^3$. Следовательно, коэффициент при $x^3$ равен нулю.
Ответ: $0$.

7.75. Найдите производную 100-го порядка функции $y = \frac{1}{x(x+1)}$.

7.75. Для нахождения производной 100-го порядка от функции $y = \frac{1}{x(x+1)}$ первым шагом является упрощение выражения. Для этого разложим данную дробь на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов.

Представим функцию в виде:$y = \frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$, приведем правую часть к общему знаменателю:$\frac{A(x+1) + Bx}{x(x+1)}$

Поскольку знаменатели равны, мы можем приравнять числители:$1 = A(x+1) + Bx$

Это тождество верно для любого значения $x$. Для нахождения коэффициентов подставим значения $x$, которые обнуляют один из членов:

• При $x=0$: $1 = A(0+1) + B \cdot 0 \implies 1 = A$
• При $x=-1$: $1 = A(-1+1) + B(-1) \implies 1 = -B \implies B = -1$

Таким образом, исходная функция может быть записана как разность двух простых дробей:$y = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} = x^{-1} - (x+1)^{-1}$

Теперь найдем общую формулу для n-й производной для каждого из слагаемых.Рассмотрим функцию $u(x) = x^{-1}$. Найдем ее первые несколько производных, чтобы выявить закономерность:

$u'(x) = -1 \cdot x^{-2}$
$u''(x) = (-1)(-2) \cdot x^{-3} = 2! \cdot x^{-3}$
$u'''(x) = 2! \cdot (-3) \cdot x^{-4} = -3! \cdot x^{-4}$
$u^{(4)}(x) = -3! \cdot (-4) \cdot x^{-5} = 4! \cdot x^{-5}$

Закономерность для n-й производной функции $u(x)$ такова:$u^{(n)}(x) = (\frac{1}{x})^{(n)} = (-1)^n n! x^{-(n+1)} = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}$

Аналогично, для функции $v(x) = (x+1)^{-1}$, n-я производная будет:$v^{(n)}(x) = (\frac{1}{x+1})^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}}$

Поскольку производная разности равна разности производных, n-я производная исходной функции $y$ будет:$y^{(n)}(x) = u^{(n)}(x) - v^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}}$

Вынесем общий множитель за скобки:$y^{(n)}(x) = (-1)^n n! \left(\frac{1}{x^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}}\right)$

Нам необходимо найти производную 100-го порядка, то есть подставить $n=100$ в полученную формулу:$y^{(100)}(x) = (-1)^{100} \cdot 100! \left(\frac{1}{x^{100+1}} - \frac{1}{(x+1)^{100+1}}\right)$

Так как $(-1)^{100} = 1$, окончательное выражение для производной 100-го порядка:$y^{(100)}(x) = 100! \left(\frac{1}{x^{101}} - \frac{1}{(x+1)^{101}}\right)$

Ответ: $100! \left( \frac{1}{x^{101}} - \frac{1}{(x+1)^{101}} \right)$.

7.76. Докажите формулу бинома Ньютона: $(x+a)^n = C_n^0 x^n + C_n^1 x^{n-1} \cdot a + \ldots + C_n^k x^{n-k} \cdot a^k + \ldots + C_n^n \cdot a^n$, пользуясь понятием производной высшего порядка.

Для доказательства формулы бинома Ньютона воспользуемся разложением функции в ряд Тейлора (в окрестности нуля — ряд Маклорена), что напрямую использует понятие производных высшего порядка. Рассмотрим функцию $f(a) = (x+a)^n$, где $x$ будем считать константой, а $a$ — переменной. Эта функция является многочленом степени $n$ относительно переменной $a$.

Согласно формуле Тейлора для многочлена, мы можем представить $f(a)$ в виде конечной суммы:

$f(a) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} a^k$

где $f^{(k)}(0)$ — это значение $k$-ой производной функции $f(a)$ по переменной $a$ в точке $a=0$.

Найдем производные высших порядков для функции $f(a) = (x+a)^n$ по переменной $a$:

Нулевая производная (сама функция): $f^{(0)}(a) = f(a) = (x+a)^n$.

Первая производная: $f'(a) = n(x+a)^{n-1}$.

Вторая производная: $f''(a) = n(n-1)(x+a)^{n-2}$.

Третья производная: $f'''(a) = n(n-1)(n-2)(x+a)^{n-3}$.

Продолжая по аналогии, найдем $k$-ю производную:

$f^{(k)}(a) = n(n-1)\dots(n-k+1)(x+a)^{n-k}$.

Это выражение можно записать с использованием факториалов:

$f^{(k)}(a) = \frac{n!}{(n-k)!}(x+a)^{n-k}$.

Теперь вычислим значения этих производных в точке $a=0$:

$f^{(k)}(0) = \frac{n!}{(n-k)!}(x+0)^{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}$.

Подставим полученные значения в формулу ряда Маклорена:

$f(a) = (x+a)^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \left( \frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k} \right) a^k$.

Упростим выражение для коэффициентов в сумме:

$(x+a)^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} a^k$.

Выражение $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ является определением биномиального коэффициента $C_n^k$ (или $\binom{n}{k}$).

Таким образом, мы получаем искомую формулу бинома Ньютона:

$(x+a)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} a^k$.

Расписывая эту сумму, мы получаем:

$(x+a)^n = C_n^0 x^n a^0 + C_n^1 x^{n-1} a^1 + C_n^2 x^{n-2} a^2 + \dots + C_n^k x^{n-k} a^k + \dots + C_n^n x^0 a^n$.

Учитывая, что $a^0=1$, $a^1=a$, $x^0=1$, формула принимает вид, указанный в условии задачи:

$(x+a)^n = C_n^0 x^n + C_n^1 x^{n-1} a + \dots + C_n^k x^{n-k} a^k + \dots + C_n^n a^n$.

Таким образом, формула бинома Ньютона доказана с использованием понятия производной высшего порядка.

Ответ: Приведенное выше рассуждение, основанное на разложении функции $f(a) = (x+a)^n$ в ряд Маклорена, доказывает формулу бинома Ньютона.