Номер 7.75, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.75. Найдите производную 100-го порядка функции $y = \frac{1}{x(x+1)}$.

7.75. Для нахождения производной 100-го порядка от функции $y = \frac{1}{x(x+1)}$ первым шагом является упрощение выражения. Для этого разложим данную дробь на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов.

Представим функцию в виде:$y = \frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$, приведем правую часть к общему знаменателю:$\frac{A(x+1) + Bx}{x(x+1)}$

Поскольку знаменатели равны, мы можем приравнять числители:$1 = A(x+1) + Bx$

Это тождество верно для любого значения $x$. Для нахождения коэффициентов подставим значения $x$, которые обнуляют один из членов:

• При $x=0$: $1 = A(0+1) + B \cdot 0 \implies 1 = A$
• При $x=-1$: $1 = A(-1+1) + B(-1) \implies 1 = -B \implies B = -1$

Таким образом, исходная функция может быть записана как разность двух простых дробей:$y = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} = x^{-1} - (x+1)^{-1}$

Теперь найдем общую формулу для n-й производной для каждого из слагаемых.Рассмотрим функцию $u(x) = x^{-1}$. Найдем ее первые несколько производных, чтобы выявить закономерность:

$u'(x) = -1 \cdot x^{-2}$
$u''(x) = (-1)(-2) \cdot x^{-3} = 2! \cdot x^{-3}$
$u'''(x) = 2! \cdot (-3) \cdot x^{-4} = -3! \cdot x^{-4}$
$u^{(4)}(x) = -3! \cdot (-4) \cdot x^{-5} = 4! \cdot x^{-5}$

Закономерность для n-й производной функции $u(x)$ такова:$u^{(n)}(x) = (\frac{1}{x})^{(n)} = (-1)^n n! x^{-(n+1)} = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}$

Аналогично, для функции $v(x) = (x+1)^{-1}$, n-я производная будет:$v^{(n)}(x) = (\frac{1}{x+1})^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}}$

Поскольку производная разности равна разности производных, n-я производная исходной функции $y$ будет:$y^{(n)}(x) = u^{(n)}(x) - v^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}}$

Вынесем общий множитель за скобки:$y^{(n)}(x) = (-1)^n n! \left(\frac{1}{x^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}}\right)$

Нам необходимо найти производную 100-го порядка, то есть подставить $n=100$ в полученную формулу:$y^{(100)}(x) = (-1)^{100} \cdot 100! \left(\frac{1}{x^{100+1}} - \frac{1}{(x+1)^{100+1}}\right)$

Так как $(-1)^{100} = 1$, окончательное выражение для производной 100-го порядка:$y^{(100)}(x) = 100! \left(\frac{1}{x^{101}} - \frac{1}{(x+1)^{101}}\right)$

Ответ: $100! \left( \frac{1}{x^{101}} - \frac{1}{(x+1)^{101}} \right)$.