Номер 7.78, страница 221 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.78. 1) $y = \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 7x - 8;$

2) $y = x^3 + 3x^2 - 6x + 5;$

3) $y = \frac{1}{x-2};$

4) $y = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}.$

1) $y = \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 7x - 8$

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума, выполним следующие шаги:

1. Находим область определения функции.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции.
$y' = (\frac{x^3}{3} - 4x^2 + 7x - 8)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 4 \cdot 2x + 7 = x^2 - 8x + 7$.

3. Находим критические точки.
Приравниваем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:$y' = 0 \Rightarrow x^2 - 8x + 7 = 0$.Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:$x_1 + x_2 = 8$$x_1 \cdot x_2 = 7$Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.Производная определена на всей области определения функции, поэтому других критических точек нет.

4. Анализируем знак производной на интервалах.
Критические точки $x=1$ и $x=7$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 7)$ и $(7; +\infty)$.График производной $y' = x^2 - 8x + 7$ — это парабола с ветвями вверх.

• При $x \in (-\infty; 1)$, $y' > 0$, следовательно, функция $y$ возрастает.
• При $x \in (1; 7)$, $y' < 0$, следовательно, функция $y$ убывает.
• При $x \in (7; +\infty)$, $y' > 0$, следовательно, функция $y$ возрастает.

5. Находим точки экстремума.
В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума.$x_{max} = 1$.В точке $x=7$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.$x_{min} = 7$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 1]$ и $[7, +\infty)$; убывает на промежутке $[1, 7]$; точка максимума $x_{max}=1$; точка минимума $x_{min}=7$.

2) $y = x^3 + 3x^2 - 6x + 5$

1. Находим область определения функции.
Функция является многочленом. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции.
$y' = (x^3 + 3x^2 - 6x + 5)' = 3x^2 + 6x - 6 = 3(x^2 + 2x - 2)$.

3. Находим критические точки.
$y' = 0 \Rightarrow 3(x^2 + 2x - 2) = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 2 = 0$.Решим квадратное уравнение через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.Критические точки: $x_1 = -1 - \sqrt{3}$ и $x_2 = -1 + \sqrt{3}$.

4. Анализируем знак производной на интервалах.
Интервалы: $(-\infty; -1-\sqrt{3})$, $(-1-\sqrt{3}; -1+\sqrt{3})$ и $(-1+\sqrt{3}; +\infty)$.График производной $y' = 3x^2 + 6x - 6$ — парабола с ветвями вверх.

• При $x \in (-\infty; -1-\sqrt{3})$, $y' > 0$, функция $y$ возрастает.
• При $x \in (-1-\sqrt{3}; -1+\sqrt{3})$, $y' < 0$, функция $y$ убывает.
• При $x \in (-1+\sqrt{3}; +\infty)$, $y' > 0$, функция $y$ возрастает.

5. Находим точки экстремума.
В точке $x = -1 - \sqrt{3}$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума.$x_{max} = -1 - \sqrt{3}$.В точке $x = -1 + \sqrt{3}$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.$x_{min} = -1 + \sqrt{3}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1-\sqrt{3}]$ и $[-1+\sqrt{3}, +\infty)$; убывает на промежутке $[-1-\sqrt{3}, -1+\sqrt{3}]$; точка максимума $x_{max}=-1-\sqrt{3}$; точка минимума $x_{min}=-1+\sqrt{3}$.

3) $y = \frac{1}{x-2}$

1. Находим область определения функции.
Знаменатель не может быть равен нулю: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.$D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Находим производную функции.
Используем правило дифференцирования частного или степенной функции: $y = (x-2)^{-1}$.$y' = -1 \cdot (x-2)^{-2} \cdot (x-2)' = -\frac{1}{(x-2)^2}$.

3. Находим критические точки.
$y' = 0 \Rightarrow -\frac{1}{(x-2)^2} = 0$. Уравнение не имеет решений, так как числитель равен -1.Производная не определена в точке $x=2$, но эта точка не входит в область определения функции.Следовательно, у функции нет критических точек.

4. Анализируем знак производной.
Выражение $(x-2)^2$ всегда положительно для любого $x$ из области определения.Поэтому $y' = -\frac{1}{(x-2)^2}$ всегда отрицательна ($y' < 0$) на всей области определения.

5. Определяем промежутки возрастания и убывания.
Так как производная всегда отрицательна, функция убывает на всей своей области определения.Промежутки убывания: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.Промежутков возрастания нет.Так как производная не меняет знак и нет критических точек, у функции нет экстремумов.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$; промежутков возрастания и точек экстремума нет.

4) $y = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}$

1. Находим область определения функции.
Знаменатель не может быть равен нулю: $x \neq 0$.$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции.
$y' = (\frac{x}{4} + \frac{4}{x})' = \frac{1}{4} - \frac{4}{x^2}$.

3. Находим критические точки.
$y' = 0 \Rightarrow \frac{1}{4} - \frac{4}{x^2} = 0$.$\frac{1}{4} = \frac{4}{x^2} \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$.Критические точки: $x_1 = -4$, $x_2 = 4$.Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в область определения функции.

4. Анализируем знак производной на интервалах.
Точки $x=-4, x=0, x=4$ разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$.Приведем производную к общему знаменателю: $y' = \frac{x^2 - 16}{4x^2}$.Знак производной зависит от знака числителя $x^2 - 16$, так как знаменатель $4x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$.

• При $x \in (-\infty; -4)$, $x^2-16 > 0$, значит $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-4; 0)$, $x^2-16 < 0$, значит $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; 4)$, $x^2-16 < 0$, значит $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (4; +\infty)$, $x^2-16 > 0$, значит $y' > 0$, функция возрастает.

5. Находим точки экстремума.
В точке $x=-4$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума.$x_{max} = -4$.В точке $x=4$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.$x_{min} = 4$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -4]$ и $[4, +\infty)$; убывает на промежутках $[-4, 0)$ и $(0, 4]$; точка максимума $x_{max}=-4$; точка минимума $x_{min}=4$.