Номер 7.79, страница 221 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.79. 1) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right);$

2) $y = 3 - \cos 2x;$

3) $y = \mathrm{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right);$

4) $y = \mathrm{ctg}\frac{x}{2}.$

1) Чтобы найти основной период функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{4})$, мы используем общую формулу для периода функции вида $y = A \sin(kx + \phi) + C$. Основной (наименьший положительный) период такой функции вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период базовой функции $y = \sin(x)$.
Основной период функции $y = \sin(x)$ равен $T_0 = 2\pi$.
В нашей функции $y = \sin(1 \cdot x - \frac{\pi}{4})$ коэффициент при $x$ равен $k = 1$. Фазовый сдвиг $\phi = -\frac{\pi}{4}$ и амплитуда $A=1$ не влияют на величину периода.
Подставляем значение $k$ в формулу для периода:
$T = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

2) Для нахождения основного периода функции $y = 3 - \cos(2x)$ воспользуемся общей формулой для периода функции вида $y = C + A \cos(kx + \phi)$. Основной период такой функции вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период базовой функции $y = \cos(x)$.
Основной период функции $y = \cos(x)$ равен $T_0 = 2\pi$.
В нашей функции $y = 3 - \cos(2x)$ коэффициент при $x$ равен $k = 2$. Вертикальный сдвиг $C=3$ и амплитуда $A=-1$ не влияют на величину периода.
Подставляем значение $k$ в формулу для периода:
$T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

3) Чтобы найти основной период функции $y = \tg(x + \frac{\pi}{3})$, мы используем общую формулу для периода функции вида $y = A \tg(kx + \phi) + C$. Основной период такой функции вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период базовой функции $y = \tg(x)$.
Основной период функции $y = \tg(x)$ равен $T_0 = \pi$.
В нашей функции $y = \tg(1 \cdot x + \frac{\pi}{3})$ коэффициент при $x$ равен $k = 1$. Фазовый сдвиг $\phi = \frac{\pi}{3}$ не влияет на величину периода.
Подставляем значение $k$ в формулу для периода:
$T = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

4) Для нахождения основного периода функции $y = \ctg\frac{x}{2}$ воспользуемся общей формулой для периода функции вида $y = A \ctg(kx + \phi) + C$. Основной период такой функции вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период базовой функции $y = \ctg(x)$.
Основной период функции $y = \ctg(x)$ равен $T_0 = \pi$.
В нашей функции $y = \ctg(\frac{1}{2}x)$ коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$.
Подставляем значение $k$ в формулу для периода:
$T = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.