Номер 7.86, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.86. 1) $y = \sin 2x + x;$

2) $y = \sin x + \cos x;$

3) $y = x - \cos 2x;$

4) $y = x - \sin 2x.$

1) $y = \sin 2x + x$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума функции, найдем ее первую производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную функции:

$y' = (\sin 2x + x)' = (\sin 2x)' + (x)' = 2\cos 2x + 1$.

Найдем критические точки, для этого приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$2\cos 2x + 1 = 0$

$\cos 2x = -\frac{1}{2}$

Решением этого уравнения являются значения:

$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$

Критические точки разбивают числовую прямую на интервалы. Для определения знака производной $y'$ на этих интервалах, исследуем ее на промежутке длиной в период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Возьмем, например, интервалы $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$ и $(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$.

На интервале $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$ выберем точку $x=0$. $y'(0) = 2\cos(0) + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 > 0$. Значит, на всех интервалах вида $(-\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{3} + \pi n)$ функция возрастает.

На интервале $(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$ выберем точку $x=\frac{\pi}{2}$. $y'(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\pi) + 1 = 2 \cdot (-1) + 1 = -1 < 0$. Значит, на всех интервалах вида $(\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{2\pi}{3} + \pi n)$ функция убывает.

Точки максимума — это точки, в которых производная меняет знак с «+» на «-». Это происходит в точках $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Точки минимума — это точки, в которых производная меняет знак с «-» на «+». Это происходит в точках $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{3} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$; убывает на промежутках $(\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{2\pi}{3} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x_{min} = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \sin x + \cos x$

Область определения функции — $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную:

$y' = (\sin x + \cos x)' = \cos x - \sin x$.

Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$\cos x - \sin x = 0$

$\cos x = \sin x$

Разделим обе части на $\cos x \neq 0$ (если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1 \neq 0$, так что деление корректно):

$\tan x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Определим знак производной на интервалах. Период функции и ее производной равен $2\pi$. Рассмотрим интервалы на промежутке $(-\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$. Критические точки здесь: $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{5\pi}{4}$.

На интервале $(-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ возьмем $x=0$. $y'(0) = \cos(0) - \sin(0) = 1 > 0$. Функция возрастает.

На интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$ возьмем $x=\frac{\pi}{2}$. $y'(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2}) = -1 < 0$. Функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на интервалах $(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n)$ и убывает на интервалах $(\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В точках $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ производная меняет знак с «+» на «-», это точки максимума.

В точках $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$ производная меняет знак с «-» на «+», это точки минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$; убывает на промежутках $(\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x_{min} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) $y = x - \cos 2x$

Область определения функции — $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную:

$y' = (x - \cos 2x)' = 1 - (-\sin 2x) \cdot 2 = 1 + 2\sin 2x$.

Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$1 + 2\sin 2x = 0$

$\sin 2x = -\frac{1}{2}$

$2x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это дает две серии решений:

$2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{12} + \pi n$

$2x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{7\pi}{12} + \pi n$

Определим знак производной на интервалах. Период производной $T=\pi$. Рассмотрим интервалы $(-\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12})$ и $(\frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12})$.

На интервале $(-\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12})$ возьмем $x=0$. $y'(0) = 1 + 2\sin(0) = 1 > 0$. Функция возрастает.

На интервале $(\frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12})$ возьмем $x=\frac{3\pi}{4} = \frac{9\pi}{12}$. $y'(\frac{3\pi}{4}) = 1 + 2\sin(\frac{3\pi}{2}) = 1 - 2 = -1 < 0$. Функция убывает.

Функция возрастает на интервалах $(-\frac{\pi}{12} + \pi n, \frac{7\pi}{12} + \pi n)$ и убывает на интервалах $(\frac{7\pi}{12} + \pi n, \frac{11\pi}{12} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В точках $x = \frac{7\pi}{12} + \pi n$ производная меняет знак с «+» на «-», это точки максимума.

В точках $x = -\frac{\pi}{12} + \pi n$ (или $x = \frac{11\pi}{12} + \pi(n-1)$) производная меняет знак с «-» на «+», это точки минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\frac{\pi}{12} + \pi n, \frac{7\pi}{12} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$; убывает на промежутках $(\frac{7\pi}{12} + \pi n, \frac{11\pi}{12} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x_{max} = \frac{7\pi}{12} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x_{min} = -\frac{\pi}{12} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) $y = x - \sin 2x$

Область определения функции — $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную:

$y' = (x - \sin 2x)' = 1 - 2\cos 2x$.

Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$1 - 2\cos 2x = 0$

$\cos 2x = \frac{1}{2}$

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$

Определим знак производной на интервалах. Период производной $T=\pi$. Рассмотрим интервалы $(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6})$ и $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$.

На интервале $(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6})$ возьмем $x=0$. $y'(0) = 1 - 2\cos(0) = 1 - 2 = -1 < 0$. Функция убывает.

На интервале $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$ возьмем $x=\frac{\pi}{2}$. $y'(\frac{\pi}{2}) = 1 - 2\cos(\pi) = 1 - 2(-1) = 3 > 0$. Функция возрастает.

Функция убывает на интервалах $(-\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{6} + \pi n)$ и возрастает на интервалах $(\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{5\pi}{6} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В точках $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ производная меняет знак с «-» на «+», это точки минимума.

В точках $x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$ (или $x = -\frac{\pi}{6} + \pi(n+1)$) производная меняет знак с «+» на «-», это точки максимума.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{6} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$; возрастает на промежутках $(\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{5\pi}{6} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x_{min} = \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x_{max} = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.