Номер 7.87, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.87. 1) $y = \sqrt{x^2 - 1}$;

2) $y = \sqrt{5 - 2x}$;

3) $y = \sqrt{x^2 - 4x - 5}$;

4) $y = \sqrt{x - \sqrt{x}}$.

1) $y = \sqrt{x^2 - 1}$

Область определения функции, содержащей квадратный корень, находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Для данной функции это условие записывается в виде неравенства: $x^2 - 1 \geq 0$

Разложим левую часть неравенства на множители, используя формулу разности квадратов: $(x - 1)(x + 1) \geq 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корнями соответствующего уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1]$, $[-1; 1]$ и $[1; \infty)$.

Проверяем знаки выражения $(x - 1)(x + 1)$ на каждом интервале. Выражение неотрицательно при $x \leq -1$ или $x \geq 1$.

Следовательно, область определения функции — это объединение двух промежутков.

Ответ: $(-\infty; -1] \cup [1; \infty)$.

2) $y = \sqrt{5 - 2x}$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $5 - 2x \geq 0$

Решаем это линейное неравенство: $-2x \geq -5$

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-2) знак неравенства меняется на противоположный: $x \leq \frac{-5}{-2}$ $x \leq 2.5$

Таким образом, область определения функции — это все числа, меньшие или равные 2.5.

Ответ: $(-\infty; 2.5]$.

3) $y = \sqrt{x^2 - 4x - 5}$

Область определения функции задается неравенством: $x^2 - 4x - 5 \geq 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. Используем теорему Виета: сумма корней равна 4, а их произведение равно -5. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Либо через дискриминант: $D = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2$. $x_{1,2} = \frac{4 \pm 6}{2}$, откуда $x_1 = -1$, $x_2 = 5$.

Разложим квадратный трехчлен на множители: $(x - (-1))(x - 5) \geq 0$ $(x + 1)(x - 5) \geq 0$

Графиком функции $f(x) = x^2 - 4x - 5$ является парабола с ветвями, направленными вверх, пересекающая ось Ox в точках -1 и 5. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Решением неравенства являются промежутки $x \leq -1$ и $x \geq 5$.

Ответ: $(-\infty; -1] \cup [5; \infty)$.

4) $y = \sqrt{x - \sqrt{x}}$

Для нахождения области определения этой функции необходимо, чтобы выполнялись два условия одновременно (система неравенств): $\begin{cases} x \geq 0 & \text{(выражение под внутренним корнем)} \\ x - \sqrt{x} \geq 0 & \text{(выражение под внешним корнем)} \end{cases}$

Первое неравенство $x \geq 0$ уже задает ограничение.

Решим второе неравенство $x - \sqrt{x} \geq 0$. Вынесем $\sqrt{x}$ за скобки: $\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) \geq 0$

Из первого условия системы мы знаем, что $x \geq 0$, поэтому множитель $\sqrt{x}$ всегда неотрицателен. Неравенство будет верным в двух случаях:
а) Если $\sqrt{x} = 0$, то есть $x = 0$. При подстановке получаем $0 \geq 0$, что верно.
б) Если $\sqrt{x} > 0$, то можно разделить обе части неравенства на $\sqrt{x}$ без изменения знака: $\sqrt{x} - 1 \geq 0$ $\sqrt{x} \geq 1$ Возведя обе части в квадрат (это возможно, так как обе части неотрицательны), получим: $x \geq 1$

Объединяя оба случая (а и б), получаем решение для второго неравенства: $x = 0$ или $x \geq 1$.

Это решение полностью удовлетворяет первому условию системы ($x \geq 0$).

Следовательно, область определения функции — это точка $x=0$ и промежуток от 1 до бесконечности.

Ответ: $\{0\} \cup [1; \infty)$.