Номер 7.91, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.91. 1) $y = \sin^2 x - \cos x;$

2) $y = \sin^2 x - \frac{x}{2};$

3) $y = \sin x + \operatorname{tg} x;$

4) $y = x - \operatorname{arctg} x;$

5) $y = \frac{x}{\sqrt{2}} + \cos x;$

6) $y = \frac{\cos x}{2 + \sin x}.$

1) $y = \sin^2 x - \cos x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Функция является периодической с периодом $2\pi$.

2. Найдем производную функции:
$y' = (\sin^2 x - \cos x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' - (-\sin x) = 2\sin x \cos x + \sin x = \sin x(2\cos x + 1)$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$\sin x(2\cos x + 1) = 0$.
Это уравнение распадается на два:
а) $\sin x = 0 \implies x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
б) $2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1/2 \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, образованных критическими точками на промежутке $[0, 2\pi]$: $0, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, 2\pi$.
- На интервале $(0, \frac{2\pi}{3})$: $y'(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2})(2\cos(\frac{\pi}{2})+1) = 1(0+1) = 1 > 0$, функция возрастает.- На интервале $(\frac{2\pi}{3}, \pi)$: $y'(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4})(2\cos(\frac{3\pi}{4})+1) = \frac{\sqrt{2}}{2}(2(-\frac{\sqrt{2}}{2})+1) = \frac{\sqrt{2}}{2}(-\sqrt{2}+1) < 0$, функция убывает.- На интервале $(\pi, \frac{4\pi}{3})$: $y'(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{4})(2\cos(\frac{5\pi}{4})+1) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})(2(-\frac{\sqrt{2}}{2})+1) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})(-\sqrt{2}+1) > 0$, функция возрастает.- На интервале $(\frac{4\pi}{3}, 2\pi)$: $y'(\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2})(2\cos(\frac{3\pi}{2})+1) = (-1)(0+1) = -1 < 0$, функция убывает.

5. Определим точки экстремума:
- При $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$ (или $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$) производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точки локального максимума.- При $x = \pi k$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точки локального минимума.

Ответ:Функция возрастает на интервалах $(2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$ и $(\pi + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Функция убывает на интервалах $(\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \pi + 2\pi n)$ и $(\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, 2\pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \sin^2 x - \frac{x}{2}$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$y' = (\sin^2 x - \frac{x}{2})' = 2\sin x \cos x - \frac{1}{2} = \sin(2x) - \frac{1}{2}$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$\sin(2x) - \frac{1}{2} = 0 \implies \sin(2x) = \frac{1}{2}$.
$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Исследуем знак производной:
- Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $\sin(2x) > \frac{1}{2}$. Это выполняется при $2x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$, откуда $x \in (\frac{\pi}{12} + \pi n, \frac{5\pi}{12} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.- Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $\sin(2x) < \frac{1}{2}$. Это выполняется при $2x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$, откуда $x \in (\frac{5\pi}{12} + \pi n, \frac{13\pi}{12} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

5. Определим точки экстремума:
- При $x = \frac{\pi}{12} + \pi n$ (соответствует четным $k$ в общей формуле) производная меняет знак с `-` на `+`, это точки локального минимума.- При $x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$ (соответствует нечетным $k$) производная меняет знак с `+` на `-`, это точки локального максимума.

Ответ:Функция возрастает на интервалах $(\frac{\pi}{12} + \pi n, \frac{5\pi}{12} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Функция убывает на интервалах $(\frac{5\pi}{12} + \pi n, \frac{13\pi}{12} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x = \frac{5\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x = \frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $y = \sin x + \tg x$

1. Область определения функции: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем производную функции:
$y' = (\sin x + \tg x)' = \cos x + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos^3 x + 1}{\cos^2 x}$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$\frac{\cos^3 x + 1}{\cos^2 x} = 0 \implies \cos^3 x + 1 = 0 \implies \cos x = -1$.
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти точки принадлежат области определения.

4. Исследуем знак производной. Знаменатель $\cos^2 x > 0$ в области определения. Знак $y'$ определяется знаком числителя $\cos^3 x + 1$.
$\cos^3 x + 1 > 0 \implies \cos x > -1$. Это неравенство верно для всех $x$ из области определения функции, кроме точек, где $\cos x = -1$.
Таким образом, $y' > 0$ для всех $x$ из области определения, за исключением критических точек $x = \pi + 2\pi k$, где $y' = 0$.

5. Вывод: функция является возрастающей на каждом интервале своей области определения, например, $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$. Точки $x = \pi + 2\pi k$ являются стационарными, но не являются точками экстремума (это точки перегиба). Локальных максимумов и минимумов нет.

Ответ:Функция возрастает на каждом интервале области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$. Экстремумов нет.

4) $y = x - \operatorname{arctg} x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$y' = (x - \operatorname{arctg} x)' = 1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{1+x^2-1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$\frac{x^2}{1+x^2} = 0 \implies x^2 = 0 \implies x=0$.

4. Исследуем знак производной. Так как $x^2 \ge 0$ и $1+x^2 > 0$, то $y' = \frac{x^2}{1+x^2} \ge 0$ для всех $x$. Производная равна нулю только в точке $x=0$.

5. Вывод: функция является неубывающей на всей числовой прямой. Так как производная обращается в ноль только в одной точке, функция строго возрастает на $(-\infty, \infty)$. Точка $x=0$ не является точкой экстремума. Экстремумов нет.

Ответ:Функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty, \infty)$. Экстремумов нет.

5) $y = \frac{x}{\sqrt{2}} + \cos x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$y' = (\frac{x}{\sqrt{2}} + \cos x)' = \frac{1}{\sqrt{2}} - \sin x$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$\frac{1}{\sqrt{2}} - \sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Исследуем знак производной:
- Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $\sin x < \frac{1}{\sqrt{2}}$. Это выполняется при $x \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{9\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.- Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $\sin x > \frac{1}{\sqrt{2}}$. Это выполняется при $x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

5. Определим точки экстремума:
- При $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ (соответствует четным $k$) производная меняет знак с `+` на `-`, это точки локального максимума.- При $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ (соответствует нечетным $k$) производная меняет знак с `-` на `+`, это точки локального минимума.

Ответ:Функция возрастает на интервалах $(\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{9\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Функция убывает на интервалах $(\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6) $y = \frac{\cos x}{2 + \sin x}$

1. Область определения функции: знаменатель $2 + \sin x$ не должен быть равен нулю. Поскольку $-1 \le \sin x \le 1$, то $1 \le 2+\sin x \le 3$, значит знаменатель никогда не равен нулю. $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Функция периодическая с периодом $2\pi$.

2. Найдем производную функции, используя правило частного:
$y' = \frac{(\cos x)'(2 + \sin x) - \cos x(2 + \sin x)'}{(2 + \sin x)^2} = \frac{-\sin x(2 + \sin x) - \cos x(\cos x)}{(2 + \sin x)^2}$
$y' = \frac{-2\sin x - \sin^2 x - \cos^2 x}{(2 + \sin x)^2} = \frac{-2\sin x - 1}{(2 + \sin x)^2}$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$\frac{-2\sin x - 1}{(2 + \sin x)^2} = 0 \implies -2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$.
$x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ это точки $x = \frac{7\pi}{6}$ и $x = \frac{11\pi}{6}$.

4. Исследуем знак производной. Знаменатель $(2+\sin x)^2$ всегда положителен. Знак $y'$ противоположен знаку выражения $2\sin x + 1$.
- Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $2\sin x + 1 < 0 \implies \sin x < -\frac{1}{2}$. Это выполняется при $x \in (\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.- Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $2\sin x + 1 > 0 \implies \sin x > -\frac{1}{2}$. Это выполняется при $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

5. Определим точки экстремума:
- При $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точки локального минимума.- При $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точки локального максимума.

Ответ:Функция возрастает на интервалах $(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Функция убывает на интервалах $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.