Номер 7.95, страница 223 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.95. Напишите уравнение касательной к кривой $y = 2x^3 - 3x^2 + 6x$, параллельной прямой $6x - y = 5$.

Уравнение касательной к кривой $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Сначала найдем угловой коэффициент $k$ для данной прямой $6x - y = 5$. Для этого преобразуем уравнение к виду $y = kx + b$:

$y = 6x - 5$

Отсюда видно, что угловой коэффициент данной прямой $k = 6$.

Поскольку искомая касательная параллельна этой прямой, ее угловой коэффициент также должен быть равен $6$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке: $k = y'(x_0)$. Найдем производную функции $y = 2x^3 - 3x^2 + 6x$:

$y' = (2x^3 - 3x^2 + 6x)' = 2 \cdot 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} + 6 \cdot 1 = 6x^2 - 6x + 6$.

Теперь приравняем производную к угловому коэффициенту $k=6$, чтобы найти абсциссы $x_0$ точек касания:

$6x_0^2 - 6x_0 + 6 = 6$

$6x_0^2 - 6x_0 = 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$6x_0(x_0 - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_{01} = 0$ и $x_{02} = 1$. Это означает, что существуют две точки на кривой, в которых касательная параллельна прямой $6x - y = 5$.

Найдем ординаты этих точек касания, подставив найденные значения $x_0$ в исходное уравнение кривой $y = 2x^3 - 3x^2 + 6x$:

1. Для $x_0 = 0$: $y_0 = 2(0)^3 - 3(0)^2 + 6(0) = 0$. Первая точка касания – $(0, 0)$.

2. Для $x_0 = 1$: $y_0 = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 6(1) = 2 - 3 + 6 = 5$. Вторая точка касания – $(1, 5)$.

Теперь напишем уравнения касательных для каждой из этих точек, используя формулу $y - y_0 = k(x - x_0)$ и угловой коэффициент $k=6$.

1. Для точки $(0, 0)$:

$y - 0 = 6(x - 0)$

$y = 6x$

2. Для точки $(1, 5)$:

$y - 5 = 6(x - 1)$

$y - 5 = 6x - 6$

$y = 6x - 1$

Таким образом, мы нашли два уравнения касательных, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: $y = 6x$ и $y = 6x - 1$.