Вопросы, страница 226 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке? Поясните ответ.

2. Сформулируйте основные этапы схемы исследования и построения графика функции и поясните их.

1. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$, необходимо следовать определенному алгоритму. Этот алгоритм основан на теореме Вейерштрасса, которая утверждает, что непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться либо на концах отрезка (в точках $a$ и $b$), либо во внутренних точках отрезка, которые являются точками экстремума (максимума или минимума).

Точки экстремума, в свою очередь, могут быть только среди так называемых критических точек. Критическими точками функции называются внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Таким образом, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке $[a, b]$ нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $f'(x)$.

2. Найти все критические точки функции, то есть решить уравнение $f'(x) = 0$ и найти точки, в которых производная не существует.

3. Выбрать из всех критических точек только те, которые принадлежат данному отрезку $[a, b]$.

4. Вычислить значения функции $f(x)$ в критических точках, отобранных на предыдущем шаге.

5. Вычислить значения функции на концах отрезка: $f(a)$ и $f(b)$.

6. Сравнить все полученные значения функции (в критических точках из отрезка и на его концах). Самое большое из этих значений будет наибольшим значением функции на отрезке (обозначается $max_{[a,b]}f(x)$ или $y_{наиб}$), а самое маленькое — наименьшим (обозначается $min_{[a,b]}f(x)$ или $y_{наим}$).

Ответ: Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке находятся путем сравнения значений функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и значений функции на концах отрезка.

2. Схема полного исследования функции и построения ее графика включает в себя ряд последовательных этапов, позволяющих выявить все ключевые свойства функции и точно отобразить ее поведение на координатной плоскости. Вот основные этапы и их пояснения:

1. Нахождение области определения функции. На этом этапе определяются все значения аргумента $x$, при которых функция $f(x)$ имеет смысл. Это помогает выявить точки разрыва и вертикальные асимптоты.

2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность.
• Четность: функция является четной, если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. График такой функции симметричен относительно оси ординат (OY).
• Нечетность: функция является нечетной, если $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
• Периодичность: функция является периодической с периодом $T \ne 0$, если $f(x+T) = f(x)$. Это свойство позволяет исследовать функцию на одном периоде и затем распространить результаты на всю область определения.
Знание этих свойств упрощает построение графика.

3. Нахождение точек пересечения графика с осями координат.
• С осью OY: находится значение $f(0)$. Точка пересечения — $(0, f(0))$.
• С осью OX: решается уравнение $f(x) = 0$. Найденные корни $x_1, x_2, ...$ являются абсциссами точек пересечения $(x_i, 0)$. Эти точки также называют нулями функции.

4. Нахождение промежутков знакопостоянства функции. Определяются интервалы, на которых функция принимает положительные ($f(x) > 0$) и отрицательные ($f(x) < 0$) значения. Для этого используются нули функции и точки разрыва, которые разбивают область определения на интервалы.

5. Нахождение промежутков монотонности и точек экстремума.
• Находится первая производная $f'(x)$.
• Определяются критические точки, где $f'(x)=0$ или не существует.
• Исследуется знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками. Если $f'(x) > 0$, функция возрастает; если $f'(x) < 0$, функция убывает.
• В точках, где производная меняет знак, находятся точки локального максимума (знак меняется с «+» на «–») и минимума (с «–» на «+»). Вычисляются значения функции в этих точках (значения экстремумов).

6. Нахождение промежутков выпуклости (вогнутости) и точек перегиба.
• Находится вторая производная $f''(x)$.
• Определяются точки, где $f''(x)=0$ или не существует.
• Исследуется знак второй производной. Если $f''(x) > 0$, график функции является вогнутым (выпуклым вниз); если $f''(x) < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).
• Точки, в которых направление выпуклости меняется, называются точками перегиба. Находятся их координаты.

7. Нахождение асимптот графика функции.
• Вертикальные асимптоты: существуют в точках разрыва $x=c$, если предел функции при приближении к этой точке равен бесконечности: $\lim_{x \to c} f(x) = \pm\infty$.
• Горизонтальные асимптоты: прямая $y=b$ является горизонтальной асимптотой, если существует конечный предел $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$.
• Наклонные асимптоты: прямая вида $y=kx+b$ является наклонной асимптотой, если существуют конечные пределы $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x)-kx)$.

8. Построение графика. На основе всех полученных данных строится график. На координатную плоскость наносятся асимптоты, точки пересечения с осями, точки экстремумов и перегиба. Затем эти точки соединяются линиями с учетом информации о монотонности и выпуклости функции.

Ответ: Основные этапы исследования функции — это анализ области определения, четности и периодичности, нахождение точек пересечения с осями, промежутков знакопостоянства, экстремумов, интервалов монотонности, точек перегиба, интервалов выпуклости/вогнутости и асимптот, что в совокупности позволяет построить ее точный график.