Номер 7.101, страница 226 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.101–7.106 найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанных отрезках.

7.101. $y = x^3 - 3x^2 + 3;$ 1) $[-1; 1];$ 2) $[1; 3];$ 3) $[-1; 3].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом отрезке необходимо найти значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах, а затем сравнить полученные значения.

Дана функция $y = x^3 - 3x^2 + 3$.

1. Найдем производную функции:
$y'(x) = (x^3 - 3x^2 + 3)' = 3x^2 - 6x$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y'(x) = 0$:
$3x^2 - 6x = 0$
$3x(x - 2) = 0$
Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Теперь рассмотрим каждый отрезок отдельно.

1) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-1; 1]$.
Критическая точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, а точка $x=2$ не принадлежит.
Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке $x=0$:
$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 3 = -1 - 3 \cdot 1 + 3 = -1$.
$y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 3 = 3$.
$y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 3 + 3 = 1$.
Среди значений $\{-1, 3, 1\}$ наибольшее равно 3, а наименьшее равно -1.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 3$, наименьшее значение $y_{наим} = -1$.

2) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[1; 3]$.
Критическая точка $x=2$ принадлежит отрезку $[1; 3]$, а точка $x=0$ не принадлежит.
Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке $x=2$:
$y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 3 + 3 = 1$.
$y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 3 = 8 - 3 \cdot 4 + 3 = 8 - 12 + 3 = -1$.
$y(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 3 = 27 - 3 \cdot 9 + 3 = 27 - 27 + 3 = 3$.
Среди значений $\{1, -1, 3\}$ наибольшее равно 3, а наименьшее равно -1.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 3$, наименьшее значение $y_{наим} = -1$.

3) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-1; 3]$.
Обе критические точки $x=0$ и $x=2$ принадлежат отрезку $[-1; 3]$.
Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках:
$y(-1) = -1$.
$y(0) = 3$.
$y(2) = -1$.
$y(3) = 3$.
Среди значений $\{-1, 3, -1, 3\}$ наибольшее равно 3, а наименьшее равно -1.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 3$, наименьшее значение $y_{наим} = -1$.