Номер 7.100, страница 223 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.100. Решите уравнение:

1) $|x - 3| + 2|x + 1| = 4;$

2) $|3x + 1| + x = 9.$

1) $|x - 3| + 2|x + 1| = 4$

Для решения этого уравнения с модулями используем метод интервалов. Сначала найдем точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль.

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

$x + 1 = 0 \implies x = -1$

Эти точки, -1 и 3, разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1)$, $[-1; 3)$ и $[3; +\infty)$. Рассмотрим уравнение на каждом из этих интервалов.

Случай 1: $x < -1$

На этом интервале оба выражения под модулем отрицательны: $x - 3 < 0$ и $x + 1 < 0$. Следовательно, мы раскрываем модули со знаком минус: $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$ и $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(-x + 3) + 2(-x - 1) = 4$

$-x + 3 - 2x - 2 = 4$

$-3x + 1 = 4$

$-3x = 3$

$x = -1$

Полученное значение $x = -1$ не входит в рассматриваемый интервал $x < -1$, поэтому на этом интервале решений нет.

Случай 2: $-1 \le x < 3$

На этом интервале выражение $x - 3$ отрицательно, а выражение $x + 1$ неотрицательно. Таким образом, $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$ и $|x + 1| = x + 1$.

Уравнение принимает вид:

$(-x + 3) + 2(x + 1) = 4$

$-x + 3 + 2x + 2 = 4$

$x + 5 = 4$

$x = -1$

Полученное значение $x = -1$ принадлежит рассматриваемому промежутку $[-1; 3)$, следовательно, является корнем уравнения.

Случай 3: $x \ge 3$

На этом интервале оба выражения под модулем неотрицательны: $x - 3 \ge 0$ и $x + 1 > 0$. Следовательно, $|x - 3| = x - 3$ и $|x + 1| = x + 1$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 3) + 2(x + 1) = 4$

$x - 3 + 2x + 2 = 4$

$3x - 1 = 4$

$3x = 5$

$x = \frac{5}{3}$

Полученное значение $x = \frac{5}{3}$ (что примерно равно 1.67) не принадлежит рассматриваемому промежутку $x \ge 3$, поэтому не является корнем.

Объединяя результаты всех случаев, мы получаем единственный корень уравнения.

Ответ: $x = -1$.

2) $|3x + 1| + x = 9$

Для решения этого уравнения также раскроем модуль, рассмотрев два случая. Найдем точку, в которой подмодульное выражение обращается в ноль.

$3x + 1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}$.

Эта точка делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty; -\frac{1}{3})$ и $[-\frac{1}{3}; +\infty)$.

Случай 1: $x < -\frac{1}{3}$

На этом интервале выражение под модулем отрицательно: $3x + 1 < 0$. Поэтому $|3x + 1| = -(3x + 1) = -3x - 1$.

Подставим в уравнение:

$(-3x - 1) + x = 9$

$-2x - 1 = 9$

$-2x = 10$

$x = -5$

Полученное значение $x = -5$ удовлетворяет условию $x < -\frac{1}{3}$, следовательно, является корнем уравнения.

Случай 2: $x \ge -\frac{1}{3}$

На этом интервале выражение под модулем неотрицательно: $3x + 1 \ge 0$. Поэтому $|3x + 1| = 3x + 1$.

Подставим в уравнение:

$(3x + 1) + x = 9$

$4x + 1 = 9$

$4x = 8$

$x = 2$

Полученное значение $x = 2$ удовлетворяет условию $x \ge -\frac{1}{3}$, следовательно, также является корнем уравнения.

Таким образом, данное уравнение имеет два корня.

Ответ: -5; 2.