Номер 7.103, страница 226 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.103. $y = x^4 - 8x^2 - 9$;

1) $[-1; 1]$;

2) $[0; 3]$;

3) $[3; 5]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^4 - 8x^2 - 9$ на замкнутом отрезке необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Сначала найдем производную функции:

$y'(x) = (x^4 - 8x^2 - 9)' = 4x^3 - 16x$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$4x^3 - 16x = 0$

$4x(x^2 - 4) = 0$

$4x(x-2)(x+2) = 0$

Критическими точками являются $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

1) Рассмотрим отрезок $[-1; 1]$.

Из всех критических точек этому отрезку принадлежит только точка $x = 0$.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в этой критической точке:

$y(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16$.

$y(1) = 1^4 - 8(1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16$.

$y(0) = 0^4 - 8(0)^2 - 9 = -9$.

Сравнивая полученные значения, заключаем, что наибольшее значение функции равно $-9$, а наименьшее равно $-16$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -16$, наибольшее значение $y_{max} = -9$.

2) Рассмотрим отрезок $[0; 3]$.

Этому отрезку принадлежат критические точки $x = 0$ и $x = 2$.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в точке $x=2$ (значение в точке $x=0$ уже известно):

$y(0) = -9$.

$y(2) = 2^4 - 8(2)^2 - 9 = 16 - 32 - 9 = -25$.

$y(3) = 3^4 - 8(3)^2 - 9 = 81 - 72 - 9 = 0$.

Сравнивая полученные значения, заключаем, что наибольшее значение функции равно $0$, а наименьшее равно $-25$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -25$, наибольшее значение $y_{max} = 0$.

3) Рассмотрим отрезок $[3; 5]$.

Ни одна из критических точек ($-2, 0, 2$) не принадлежит этому отрезку. Следовательно, для нахождения наибольшего и наименьшего значений достаточно вычислить значения функции на концах отрезка. Поскольку производная $y'(x) = 4x(x-2)(x+2)$ положительна для всех $x > 2$, функция на отрезке $[3; 5]$ является возрастающей, поэтому наименьшее значение будет в точке $x=3$, а наибольшее - в точке $x=5$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

$y(3) = 0$ (уже вычислено в предыдущем пункте).

$y(5) = 5^4 - 8(5)^2 - 9 = 625 - 8 \cdot 25 - 9 = 625 - 200 - 9 = 416$.

Наибольшее значение функции на отрезке равно $416$, а наименьшее равно $0$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = 0$, наибольшее значение $y_{max} = 416$.