Номер 7.98, страница 223 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.98. Вычислите:

1) $432 + 72 + 12 + \dots + 2;$

2) $512 + 256 + 128 + \dots + 2.$

1) Данная последовательность чисел $432, 72, 12, \dots, 2$ представляет собой конечную геометрическую прогрессию. Чтобы найти сумму, сначала определим её параметры.

Первый член прогрессии $b_1 = 432$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{72}{432} = \frac{1}{6}$

Проверим, разделив третий член на второй:

$q = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$

Знаменатель постоянен. Последний член прогрессии $b_n = 2$.

Теперь найдем количество членов прогрессии $n$, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$2 = 432 \cdot (\frac{1}{6})^{n-1}$

Разделим обе части на 432:

$\frac{2}{432} = (\frac{1}{6})^{n-1}$

$\frac{1}{216} = (\frac{1}{6})^{n-1}$

Поскольку $216 = 6^3$, мы можем переписать левую часть как $(\frac{1}{6})^3$:

$(\frac{1}{6})^3 = (\frac{1}{6})^{n-1}$

Отсюда следует, что показатели степени равны: $3 = n-1$, а значит $n = 4$.

Сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$:

$S_4 = \frac{432(1 - (\frac{1}{6})^4)}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{432(1 - \frac{1}{1296})}{\frac{5}{6}} = \frac{432(\frac{1295}{1296})}{\frac{5}{6}}$

$S_4 = 432 \cdot \frac{1295}{1296} \cdot \frac{6}{5} = \frac{432 \cdot 6}{1296} \cdot \frac{1295}{5} = \frac{2592}{1296} \cdot 259 = 2 \cdot 259 = 518$

Поскольку членов всего четыре, можно проверить результат прямым сложением: $432 + 72 + 12 + 2 = 518$.

Ответ: 518.

2) Данная последовательность чисел $512, 256, 128, \dots, 2$ также является конечной геометрической прогрессией.

Первый член прогрессии $b_1 = 512$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{256}{512} = \frac{1}{2}$

Проверим на следующей паре:

$q = \frac{128}{256} = \frac{1}{2}$

Знаменатель постоянен. Последний член прогрессии $b_n = 2$.

Найдем количество членов прогрессии $n$ по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$2 = 512 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

$\frac{2}{512} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

$\frac{1}{256} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Поскольку $256 = 2^8$, левую часть можно записать как $(\frac{1}{2})^8$:

$(\frac{1}{2})^8 = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Приравнивая показатели степени, получаем: $8 = n-1$, откуда $n = 9$.

Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$:

$S_9 = \frac{512(1 - (\frac{1}{2})^9)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{512(1 - \frac{1}{512})}{\frac{1}{2}} = \frac{512(\frac{511}{512})}{\frac{1}{2}}$

$S_9 = \frac{511}{\frac{1}{2}} = 511 \cdot 2 = 1022$

Ответ: 1022.