Номер 7.93, страница 223 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.93. Сколько корней имеет уравнение:

1) $x^3 - 6x^2 - 15x + 2 = 0$;

2) $3x^2 - x^3 - 2 = 0$;

3) $2x^3 - 6x^2 - 48x - 17 = 0$;

4) $4x - x^4 = 0?$

1) Для того чтобы найти количество корней уравнения $x^3 - 6x^2 - 15x + 2 = 0$, исследуем функцию $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 2$ с помощью производной.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 - 15x + 2)' = 3x^2 - 12x - 15$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 12x - 15 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение, например, разложением на множители:

$(x-5)(x+1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Это точки экстремумов функции.

Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; -1)$, $(-1; 5)$ и $(5; +\infty)$.

При $x < -1$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

При $-1 < x < 5$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

При $x > 5$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Следовательно, $x = -1$ — точка локального максимума, а $x = 5$ — точка локального минимума.

Найдем значения функции в этих точках (значения экстремумов):

$f_{max} = f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 - 15(-1) + 2 = -1 - 6 + 15 + 2 = 10$.

$f_{min} = f(5) = 5^3 - 6(5)^2 - 15(5) + 2 = 125 - 150 - 75 + 2 = -98$.

Так как локальный максимум ($10$) положителен, а локальный минимум ($-98$) отрицателен, график функции $f(x)$ пересекает ось абсцисс три раза. Это следует из того, что функция возрастает от $-\infty$ до положительного максимума (один корень), затем убывает до отрицательного минимума (второй корень), и снова возрастает до $+\infty$ (третий корень).

Ответ: 3 корня.

2) Рассмотрим уравнение $3x^2 - x^3 - 2 = 0$. Перепишем его в стандартном виде $-x^3 + 3x^2 - 2 = 0$.

Исследуем функцию $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2$.

Найдем производную:

$f'(x) = (-x^3 + 3x^2 - 2)' = -3x^2 + 6x$.

Найдем критические точки:

$-3x^2 + 6x = 0$

$-3x(x - 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Определим знаки производной. График $f'(x)$ — парабола с ветвями вниз.

При $x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

При $0 < x < 2$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

При $x > 2$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

Следовательно, $x = 0$ — точка локального минимума, а $x = 2$ — точка локального максимума.

Найдем значения функции в точках экстремума:

$f_{min} = f(0) = -0^3 + 3(0)^2 - 2 = -2$.

$f_{max} = f(2) = -2^3 + 3(2)^2 - 2 = -8 + 12 - 2 = 2$.

Локальный минимум ($-2$) отрицателен, а локальный максимум ($2$) положителен. Это означает, что график функции пересекает ось абсцисс три раза. Функция убывает от $+\infty$ до отрицательного минимума (первый корень), возрастает до положительного максимума (второй корень), и снова убывает до $-\infty$ (третий корень).

Ответ: 3 корня.

3) Рассмотрим уравнение $2x^3 - 6x^2 - 48x - 17 = 0$.

Исследуем функцию $f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 48x - 17$.

Найдем производную:

$f'(x) = (2x^3 - 6x^2 - 48x - 17)' = 6x^2 - 12x - 48$.

Найдем критические точки:

$6x^2 - 12x - 48 = 0$

Разделим уравнение на 6:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

$(x-4)(x+2) = 0$

Критические точки: $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.

Определим знаки производной. График $f'(x)$ — парабола с ветвями вверх.

При $x < -2$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

При $-2 < x < 4$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

При $x > 4$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Следовательно, $x = -2$ — точка локального максимума, а $x = 4$ — точка локального минимума.

Найдем значения функции в этих точках:

$f_{max} = f(-2) = 2(-2)^3 - 6(-2)^2 - 48(-2) - 17 = 2(-8) - 6(4) + 96 - 17 = -16 - 24 + 96 - 17 = 39$.

$f_{min} = f(4) = 2(4)^3 - 6(4)^2 - 48(4) - 17 = 2(64) - 6(16) - 192 - 17 = 128 - 96 - 192 - 17 = -177$.

Так как локальный максимум ($39$) положителен, а локальный минимум ($-177$) отрицателен, график функции пересекает ось абсцисс три раза. Функция возрастает от $-\infty$ до положительного максимума (один корень), убывает до отрицательного минимума (второй корень), и снова возрастает до $+\infty$ (третий корень).

Ответ: 3 корня.

4) Рассмотрим уравнение $4x - x^4 = 0$.

Для решения этого уравнения можно разложить левую часть на множители:

$x(4 - x^3) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы имеем два случая:

1. $x = 0$. Это первый корень.

2. $4 - x^3 = 0$, откуда $x^3 = 4$. Это уравнение имеет один действительный корень $x = \sqrt[3]{4}$.

Таким образом, уравнение имеет два различных действительных корня: $0$ и $\sqrt[3]{4}$.

Ответ: 2 корня.