Номер 7.90, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.90. 1) $y = \frac{2x^2}{3} \cdot \sqrt[3]{6x - 7};$

2) $y = -x^2 \cdot \sqrt{x^2 + 2}.$

1) Дана функция $y = \frac{2x^2}{3} \cdot \sqrt[3]{6x-7}$.

Для нахождения производной этой функции мы будем использовать правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \frac{2x^2}{3}$ и $v(x) = \sqrt[3]{6x-7} = (6x-7)^{1/3}$.

Сначала найдем производную функции $u(x)$:

$u'(x) = (\frac{2x^2}{3})' = \frac{2}{3} \cdot (x^2)' = \frac{2}{3} \cdot 2x = \frac{4x}{3}$.

Далее найдем производную функции $v(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$v'(x) = ((6x-7)^{1/3})' = \frac{1}{3}(6x-7)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (6x-7)' = \frac{1}{3}(6x-7)^{-2/3} \cdot 6 = 2(6x-7)^{-2/3} = \frac{2}{\sqrt[3]{(6x-7)^2}}$.

Теперь подставим найденные производные $u'$ и $v'$ в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = \frac{4x}{3} \cdot \sqrt[3]{6x-7} + \frac{2x^2}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt[3]{(6x-7)^2}} = \frac{4x\sqrt[3]{6x-7}}{3} + \frac{4x^2}{3\sqrt[3]{(6x-7)^2}}$.

Чтобы упростить выражение, приведем дроби к общему знаменателю $3\sqrt[3]{(6x-7)^2}$:

$y' = \frac{4x\sqrt[3]{6x-7} \cdot \sqrt[3]{(6x-7)^2}}{3\sqrt[3]{(6x-7)^2}} + \frac{4x^2}{3\sqrt[3]{(6x-7)^2}} = \frac{4x\sqrt[3]{(6x-7)^3} + 4x^2}{3\sqrt[3]{(6x-7)^2}}$.

Так как $\sqrt[3]{(6x-7)^3} = 6x-7$, упростим числитель:

$y' = \frac{4x(6x-7) + 4x^2}{3\sqrt[3]{(6x-7)^2}} = \frac{24x^2 - 28x + 4x^2}{3\sqrt[3]{(6x-7)^2}} = \frac{28x^2 - 28x}{3\sqrt[3]{(6x-7)^2}}$.

В завершение, вынесем общий множитель $28x$ в числителе:

$y' = \frac{28x(x-1)}{3\sqrt[3]{(6x-7)^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{28x(x-1)}{3\sqrt[3]{(6x-7)^2}}$.

2) Дана функция $y = -x^2 \cdot \sqrt{x^2+2}$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = -x^2$ и $v(x) = \sqrt{x^2+2} = (x^2+2)^{1/2}$.

Найдем производную функции $u(x)$:

$u'(x) = (-x^2)' = -2x$.

Найдем производную функции $v(x)$, используя цепное правило:

$v'(x) = ((x^2+2)^{1/2})' = \frac{1}{2}(x^2+2)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x^2+2)' = \frac{1}{2}(x^2+2)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+2}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (-2x) \cdot \sqrt{x^2+2} + (-x^2) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+2}} = -2x\sqrt{x^2+2} - \frac{x^3}{\sqrt{x^2+2}}$.

Приведем выражение к общему знаменателю $\sqrt{x^2+2}$:

$y' = \frac{-2x\sqrt{x^2+2} \cdot \sqrt{x^2+2}}{\sqrt{x^2+2}} - \frac{x^3}{\sqrt{x^2+2}} = \frac{-2x(x^2+2) - x^3}{\sqrt{x^2+2}}$.

Упростим числитель:

$y' = \frac{-2x^3 - 4x - x^3}{\sqrt{x^2+2}} = \frac{-3x^3 - 4x}{\sqrt{x^2+2}}$.

Вынесем общий множитель $-x$ в числителе:

$y' = \frac{-x(3x^2+4)}{\sqrt{x^2+2}}$.

Ответ: $y' = -\frac{x(3x^2+4)}{\sqrt{x^2+2}}$.