Номер 7.88, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.88–7.91 найдите экстремумы функций.

7. 88.

1) $y = 2x^3 - 3x^2$;

2) $y = x^3 - 6x^2 + 12x$;

3) $y = 4x - x^4$;

4) $y = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7$.

1) $y = 2x^3 - 3x^2$

Для нахождения экстремумов функции найдем ее производную, приравняем ее к нулю для определения критических точек, а затем исследуем знак производной на интервалах.

1. Находим производную функции:

$y' = (2x^3 - 3x^2)' = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x = 6x^2 - 6x$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$6x^2 - 6x = 0$

$6x(x - 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

3. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения. Производная $y' = 6x(x-1)$ представляет собой параболу с ветвями вверх, пересекающую ось Ox в точках 0 и 1.

При $x \in (-\infty; 0)$, производная $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (0; 1)$, производная $y' < 0$, функция убывает.

При $x \in (1; +\infty)$, производная $y' > 0$, функция возрастает.

4. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума.

5. Вычисляем значения функции в точках экстремума (экстремумы функции):

$y_{max} = y(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 = 0$

$y_{min} = y(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 = 2 - 3 = -1$

Ответ: $x_{max} = 0$, $y_{max} = 0$; $x_{min} = 1$, $y_{min} = -1$.

2) $y = x^3 - 6x^2 + 12x$

1. Находим производную функции:

$y' = (x^3 - 6x^2 + 12x)' = 3x^2 - 12x + 12$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$3x^2 - 12x + 12 = 0$

Делим уравнение на 3:

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

Единственная критическая точка: $x = 2$.

3. Исследуем знак производной $y' = 3(x - 2)^2$. Так как $(x - 2)^2 \ge 0$ для всех $x$, то производная $y' \ge 0$ на всей области определения. Производная не меняет знак при переходе через точку $x=2$.

Следовательно, функция является возрастающей на всей числовой прямой и не имеет точек экстремума. Точка $x=2$ является точкой перегиба.

Ответ: экстремумов нет.

3) $y = 4x - x^4$

1. Находим производную функции:

$y' = (4x - x^4)' = 4 - 4x^3$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$4 - 4x^3 = 0$

$4x^3 = 4$

$x^3 = 1$

Критическая точка: $x = 1$.

3. Исследуем знак производной $y' = 4(1 - x^3)$.

При $x < 1$ (например, $x=0$), $y' = 4(1 - 0) = 4 > 0$, функция возрастает.

При $x > 1$ (например, $x=2$), $y' = 4(1 - 8) = -28 < 0$, функция убывает.

4. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума.

5. Вычисляем значение максимума функции:

$y_{max} = y(1) = 4(1) - (1)^4 = 4 - 1 = 3$

Ответ: $x_{max} = 1$, $y_{max} = 3$.

4) $y = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7$

1. Находим производную функции:

$y' = (2x^3 - 6x^2 - 18x + 7)' = 6x^2 - 12x - 18$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$6x^2 - 12x - 18 = 0$

Делим уравнение на 6:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Критические точки: $x = -1$ и $x = 3$.

3. Исследуем знак производной $y' = 6(x+1)(x-3)$. Это парабола с ветвями вверх.

При $x \in (-\infty; -1)$, производная $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (-1; 3)$, производная $y' < 0$, функция убывает.

При $x \in (3; +\infty)$, производная $y' > 0$, функция возрастает.

4. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума. В точке $x = 3$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума.

5. Вычисляем экстремумы функции:

$y_{max} = y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1)^2 - 18(-1) + 7 = -2 - 6 + 18 + 7 = 17$

$y_{min} = y(3) = 2(3)^3 - 6(3)^2 - 18(3) + 7 = 2(27) - 6(9) - 54 + 7 = 54 - 54 - 54 + 7 = -47$

Ответ: $x_{max} = -1$, $y_{max} = 17$; $x_{min} = 3$, $y_{min} = -47$.