Номер 7.89, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.89. 1) $y = \frac{x}{1+x+x^2}$;

2) $y = \frac{3x}{1+x^2}$;

3) $y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x-1}$;

4) $y = \frac{2x - 1}{x^2 - 1}$.

1) Для нахождения области значений функции $y = \frac{x}{1+x+x^2}$, рассмотрим это выражение как уравнение относительно $x$ для заданного значения $y$.

Область определения функции — все действительные числа, так как знаменатель $x^2+x+1$ имеет отрицательный дискриминант ($D=1^2-4\cdot1\cdot1 = -3$) и положительный старший коэффициент, а значит, он всегда положителен.

Перепишем уравнение:

$y(x^2+x+1) = x$

$yx^2 + yx + y = x$

$yx^2 + (y-1)x + y = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Для того чтобы $x$ был действительным числом, дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным.

Рассмотрим два случая:

а) Если $y=0$, уравнение принимает вид $-x=0$, откуда $x=0$. Это означает, что $y=0$ является значением функции.

б) Если $y \neq 0$, то $yx^2 + (y-1)x + y = 0$ является квадратным уравнением. Его дискриминант $D_x$ должен быть больше или равен нулю:

$D_x = (y-1)^2 - 4 \cdot y \cdot y \ge 0$

$y^2 - 2y + 1 - 4y^2 \ge 0$

$-3y^2 - 2y + 1 \ge 0$

Умножим неравенство на -1 и сменим знак:

$3y^2 + 2y - 1 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3y^2 + 2y - 1 = 0$:

$y_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6}$

$y_1 = \frac{-2-4}{6} = -1$, $y_2 = \frac{-2+4}{6} = \frac{1}{3}$.

Поскольку парабола $f(y) = 3y^2 + 2y - 1$ направлена ветвями вверх, неравенство $3y^2 + 2y - 1 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $-1 \le y \le \frac{1}{3}$.

Объединяя оба случая, получаем, что область значений функции — это отрезок $[-1, \frac{1}{3}]$.

Ответ: $E(y) = [-1; \frac{1}{3}]$.

2) Для нахождения области значений функции $y = \frac{3x}{1+x^2}$ поступим аналогично предыдущему пункту.

Область определения функции — все действительные числа, так как $1+x^2 > 0$ для любого $x$.

Выразим $x$ через $y$:

$y(1+x^2) = 3x$

$yx^2 - 3x + y = 0$

а) Если $y=0$, то $-3x=0$, откуда $x=0$. Значит, $y=0$ входит в область значений.

б) Если $y \neq 0$, то для существования действительных решений $x$ дискриминант квадратного уравнения $yx^2 - 3x + y = 0$ должен быть неотрицателен:

$D_x = (-3)^2 - 4 \cdot y \cdot y \ge 0$

$9 - 4y^2 \ge 0$

$4y^2 \le 9$

$y^2 \le \frac{9}{4}$

Это неравенство равносильно $|y| \le \frac{3}{2}$, то есть $-\frac{3}{2} \le y \le \frac{3}{2}$.

Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$.

Ответ: $E(y) = [-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}]$.

3) Для нахождения области значений функции $y = \frac{x^2-2x+2}{x-1}$ сначала определим область определения: $x \neq 1$.

Преобразуем числитель, выделив полный квадрат:

$x^2-2x+2 = (x^2-2x+1)+1 = (x-1)^2+1$.

Тогда функцию можно переписать так:

$y = \frac{(x-1)^2+1}{x-1} = x-1 + \frac{1}{x-1}$

Сделаем замену $t = x-1$. Так как $x \neq 1$, то $t \neq 0$. Функция примет вид $y(t) = t + \frac{1}{t}$.

Рассмотрим два случая:

а) Если $t > 0$, то по неравенству Коши (о средних арифметическом и геометрическом) имеем:

$y = t + \frac{1}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 2$.

Таким образом, для $t>0$ значения $y$ лежат в промежутке $[2, +\infty)$.

б) Если $t < 0$, пусть $t = -u$, где $u > 0$. Тогда:

$y = -u + \frac{1}{-u} = -(u + \frac{1}{u})$.

Поскольку $u + \frac{1}{u} \ge 2$, то $-(u + \frac{1}{u}) \le -2$.

Таким образом, для $t<0$ значения $y$ лежат в промежутке $(-\infty, -2]$.

Объединяя оба случая, получаем область значений исходной функции.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

4) Для нахождения области значений функции $y = \frac{2x-1}{x^2-1}$ определим область определения: $x^2-1 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 1$.

Рассмотрим уравнение как уравнение относительно $x$:

$y(x^2-1) = 2x-1$

$yx^2 - y = 2x-1$

$yx^2 - 2x + (1-y) = 0$

а) Если $y=0$, то $-2x+1=0$, откуда $x=1/2$. Это значение $x$ входит в область определения, так что $y=0$ является значением функции.

б) Если $y \neq 0$, то для существования действительных $x$ дискриминант этого квадратного уравнения должен быть неотрицателен:

$D_x = (-2)^2 - 4 \cdot y \cdot (1-y) \ge 0$

$4 - 4y + 4y^2 \ge 0$

$y^2 - y + 1 \ge 0$

Дискриминант квадратного трехчлена $y^2 - y + 1$ равен $D_y = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$. Поскольку старший коэффициент положителен, трехчлен $y^2 - y + 1$ всегда положителен при любом действительном $y$.

Это означает, что для любого действительного $y$ уравнение $yx^2 - 2x + (1-y) = 0$ имеет действительные корни $x$.

Нам нужно лишь убедиться, что для любого $y$ хотя бы один из этих корней не равен $1$ или $-1$. Но если мы подставим $x=1$ или $x=-1$ в уравнение $yx^2 - 2x + (1-y) = 0$, то получим противоречия $-1=0$ и $3=0$ соответственно. Это значит, что корни этого уравнения никогда не равны $1$ или $-1$.

Следовательно, для любого $y \in \mathbb{R}$ найдется такое $x$ из области определения функции, что $y=f(x)$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.