Страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.84–7.87 найдите промежутки монотонности функций.

7. 84.

1) $y = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$;

2) $y = x^3 - 3x + 1$;

3) $y = 2x^4 - x + 1$;

4) $y = x^4 - 2x^2 - 3$.

Для нахождения промежутков монотонности функции необходимо найти ее производную и определить знаки производной на интервалах.

1) $y = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

1. Найдем производную функции. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

$y' = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1)' = 3x^2 + 6x + 3$.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$3x^2 + 6x + 3 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 + 2x + 1 = 0$

Это полный квадрат:

$(x+1)^2 = 0$

Критическая точка: $x = -1$.

3. Определим знак производной $y' = 3(x+1)^2$. Так как выражение $(x+1)^2$ всегда неотрицательно (равно нулю при $x=-1$ и положительно при всех остальных $x$), то производная $y' \ge 0$ на всей числовой оси.

Поскольку производная функции неотрицательна на всей области определения и обращается в ноль лишь в одной точке, функция является возрастающей на всей числовой оси.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$.

2) $y = x^3 - 3x + 1$

1. Найдем производную функции. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

$y' = (x^3 - 3x + 1)' = 3x^2 - 3$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 3 = 0$

$3(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

3. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале.

• При $x \in (-\infty, -1)$, например $x=-2$, $y'(-2) = 3((-2)^2 - 1) = 3(4 - 1) = 9 > 0$. Следовательно, функция возрастает.
• При $x \in (-1, 1)$, например $x=0$, $y'(0) = 3(0^2 - 1) = -3 < 0$. Следовательно, функция убывает.
• При $x \in (1, +\infty)$, например $x=2$, $y'(2) = 3(2^2 - 1) = 3(4 - 1) = 9 > 0$. Следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, 1]$.

3) $y = 2x^4 - x + 1$

1. Найдем производную функции. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

$y' = (2x^4 - x + 1)' = 8x^3 - 1$.

2. Найдем критические точки:

$8x^3 - 1 = 0$

$8x^3 = 1$

$x^3 = \frac{1}{8}$

Критическая точка: $x = \frac{1}{2}$.

3. Эта точка разбивает числовую ось на два интервала: $(-\infty, \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, +\infty)$. Определим знак производной.

• При $x \in (-\infty, \frac{1}{2})$, например $x=0$, $y'(0) = 8(0)^3 - 1 = -1 < 0$. Следовательно, функция убывает.
• При $x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$, например $x=1$, $y'(1) = 8(1)^3 - 1 = 7 > 0$. Следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, \frac{1}{2}]$, возрастает на промежутке $[\frac{1}{2}, +\infty)$.

4) $y = x^4 - 2x^2 - 3$

1. Найдем производную функции. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

$y' = (x^4 - 2x^2 - 3)' = 4x^3 - 4x$.

2. Найдем критические точки:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x - 1)(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

3. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, +\infty)$. Определим знак производной в каждом.

• При $x \in (-\infty, -1)$, например $x=-2$, $y'(-2) = 4(-2)((-2)^2-1) = -8(3) = -24 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-1, 0)$, например $x=-0.5$, $y'(-0.5) = 4(-0.5)((-0.5)^2-1) = -2(0.25-1) = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (0, 1)$, например $x=0.5$, $y'(0.5) = 4(0.5)((0.5)^2-1) = 2(0.25-1) = -1.5 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (1, +\infty)$, например $x=2$, $y'(2) = 4(2)(2^2-1) = 8(3) = 24 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$.

7.85. 1) $y = 1 + \frac{3}{2 - x}$;

2) $y = \frac{x}{1 + x^2}$;

3) $y = \left(\frac{x^2 - 1}{x}\right)^3$;

4) $y = x + \frac{4}{x^2}$.

1) Дана функция $y = 1 + \frac{3}{2-x}$.
Для нахождения её производной $y'$, представим функцию в виде, удобном для дифференцирования: $y = 1 + 3(2-x)^{-1}$.
Используем правило дифференцирования суммы и цепное правило. Производная константы равна нулю.
$y' = (1)' + (3(2-x)^{-1})' = 0 + 3 \cdot (-1)(2-x)^{-1-1} \cdot (2-x)'$.
Производная внутренней функции $(2-x)' = -1$.
Подставляем это значение в выражение для производной:
$y' = -3(2-x)^{-2} \cdot (-1) = 3(2-x)^{-2} = \frac{3}{(2-x)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{3}{(2-x)^2}$.

2) Дана функция $y = \frac{x}{1+x^2}$.
Для нахождения производной $y'$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В данном случае $u = x$ и $v = 1+x^2$.
Находим производные от $u$ и $v$:
$u' = (x)' = 1$
$v' = (1+x^2)' = 2x$
Теперь подставляем найденные производные в формулу частного:
$y' = \frac{1 \cdot (1+x^2) - x \cdot (2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$.

3) Дана функция $y = \left(\frac{x^2-1}{x}\right)^3$.
Сначала упростим выражение в скобках, разделив почленно: $\frac{x^2-1}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{1}{x} = x - \frac{1}{x}$.
Таким образом, функция принимает вид $y = (x - x^{-1})^3$.
Для нахождения производной используем цепное правило для степенной функции $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$.
Здесь $u = x - x^{-1}$ и $n = 3$.
Производная внутренней функции: $u' = (x - x^{-1})' = 1 - (-1)x^{-2} = 1 + x^{-2} = 1 + \frac{1}{x^2}$.
Подставляем в формулу цепного правила:
$y' = 3(x - x^{-1})^2 \cdot (1 + x^{-2}) = 3\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 \cdot \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)$.
Преобразуем выражение, приводя к общему знаменателю:
$y' = 3\left(\frac{x^2-1}{x}\right)^2 \cdot \left(\frac{x^2+1}{x^2}\right) = 3\frac{(x^2-1)^2}{x^2} \cdot \frac{x^2+1}{x^2} = \frac{3(x^2-1)^2(x^2+1)}{x^4}$.
Ответ: $y' = \frac{3(x^2-1)^2(x^2+1)}{x^4}$.

4) Дана функция $y = x + \frac{4}{x^2}$.
Для удобства дифференцирования представим функцию в виде $y = x + 4x^{-2}$.
Используем правило дифференцирования суммы и правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$y' = (x)' + (4x^{-2})' = 1 + 4 \cdot (-2)x^{-2-1} = 1 - 8x^{-3}$.
Запишем результат с положительным показателем степени:
$y' = 1 - \frac{8}{x^3}$.
Можно также привести выражение к общему знаменателю:
$y' = \frac{x^3}{x^3} - \frac{8}{x^3} = \frac{x^3-8}{x^3}$.
Ответ: $y' = \frac{x^3-8}{x^3}$.

7.86. 1) $y = \sin 2x + x;$

2) $y = \sin x + \cos x;$

3) $y = x - \cos 2x;$

4) $y = x - \sin 2x.$

1) $y = \sin 2x + x$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума функции, найдем ее первую производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную функции:

$y' = (\sin 2x + x)' = (\sin 2x)' + (x)' = 2\cos 2x + 1$.

Найдем критические точки, для этого приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$2\cos 2x + 1 = 0$

$\cos 2x = -\frac{1}{2}$

Решением этого уравнения являются значения:

$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$

Критические точки разбивают числовую прямую на интервалы. Для определения знака производной $y'$ на этих интервалах, исследуем ее на промежутке длиной в период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Возьмем, например, интервалы $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$ и $(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$.

На интервале $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$ выберем точку $x=0$. $y'(0) = 2\cos(0) + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 > 0$. Значит, на всех интервалах вида $(-\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{3} + \pi n)$ функция возрастает.

На интервале $(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$ выберем точку $x=\frac{\pi}{2}$. $y'(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\pi) + 1 = 2 \cdot (-1) + 1 = -1 < 0$. Значит, на всех интервалах вида $(\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{2\pi}{3} + \pi n)$ функция убывает.

Точки максимума — это точки, в которых производная меняет знак с «+» на «-». Это происходит в точках $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Точки минимума — это точки, в которых производная меняет знак с «-» на «+». Это происходит в точках $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{3} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$; убывает на промежутках $(\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{2\pi}{3} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x_{min} = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \sin x + \cos x$

Область определения функции — $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную:

$y' = (\sin x + \cos x)' = \cos x - \sin x$.

Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$\cos x - \sin x = 0$

$\cos x = \sin x$

Разделим обе части на $\cos x \neq 0$ (если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1 \neq 0$, так что деление корректно):

$\tan x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Определим знак производной на интервалах. Период функции и ее производной равен $2\pi$. Рассмотрим интервалы на промежутке $(-\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$. Критические точки здесь: $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{5\pi}{4}$.

На интервале $(-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ возьмем $x=0$. $y'(0) = \cos(0) - \sin(0) = 1 > 0$. Функция возрастает.

На интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$ возьмем $x=\frac{\pi}{2}$. $y'(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2}) = -1 < 0$. Функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на интервалах $(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n)$ и убывает на интервалах $(\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В точках $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ производная меняет знак с «+» на «-», это точки максимума.

В точках $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$ производная меняет знак с «-» на «+», это точки минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$; убывает на промежутках $(\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x_{min} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) $y = x - \cos 2x$

Область определения функции — $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную:

$y' = (x - \cos 2x)' = 1 - (-\sin 2x) \cdot 2 = 1 + 2\sin 2x$.

Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$1 + 2\sin 2x = 0$

$\sin 2x = -\frac{1}{2}$

$2x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это дает две серии решений:

$2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{12} + \pi n$

$2x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{7\pi}{12} + \pi n$

Определим знак производной на интервалах. Период производной $T=\pi$. Рассмотрим интервалы $(-\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12})$ и $(\frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12})$.

На интервале $(-\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12})$ возьмем $x=0$. $y'(0) = 1 + 2\sin(0) = 1 > 0$. Функция возрастает.

На интервале $(\frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12})$ возьмем $x=\frac{3\pi}{4} = \frac{9\pi}{12}$. $y'(\frac{3\pi}{4}) = 1 + 2\sin(\frac{3\pi}{2}) = 1 - 2 = -1 < 0$. Функция убывает.

Функция возрастает на интервалах $(-\frac{\pi}{12} + \pi n, \frac{7\pi}{12} + \pi n)$ и убывает на интервалах $(\frac{7\pi}{12} + \pi n, \frac{11\pi}{12} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В точках $x = \frac{7\pi}{12} + \pi n$ производная меняет знак с «+» на «-», это точки максимума.

В точках $x = -\frac{\pi}{12} + \pi n$ (или $x = \frac{11\pi}{12} + \pi(n-1)$) производная меняет знак с «-» на «+», это точки минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\frac{\pi}{12} + \pi n, \frac{7\pi}{12} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$; убывает на промежутках $(\frac{7\pi}{12} + \pi n, \frac{11\pi}{12} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x_{max} = \frac{7\pi}{12} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x_{min} = -\frac{\pi}{12} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) $y = x - \sin 2x$

Область определения функции — $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную:

$y' = (x - \sin 2x)' = 1 - 2\cos 2x$.

Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$1 - 2\cos 2x = 0$

$\cos 2x = \frac{1}{2}$

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$

Определим знак производной на интервалах. Период производной $T=\pi$. Рассмотрим интервалы $(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6})$ и $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$.

На интервале $(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6})$ возьмем $x=0$. $y'(0) = 1 - 2\cos(0) = 1 - 2 = -1 < 0$. Функция убывает.

На интервале $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$ возьмем $x=\frac{\pi}{2}$. $y'(\frac{\pi}{2}) = 1 - 2\cos(\pi) = 1 - 2(-1) = 3 > 0$. Функция возрастает.

Функция убывает на интервалах $(-\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{6} + \pi n)$ и возрастает на интервалах $(\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{5\pi}{6} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В точках $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ производная меняет знак с «-» на «+», это точки минимума.

В точках $x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$ (или $x = -\frac{\pi}{6} + \pi(n+1)$) производная меняет знак с «+» на «-», это точки максимума.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{6} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$; возрастает на промежутках $(\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{5\pi}{6} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x_{min} = \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x_{max} = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

7.87. 1) $y = \sqrt{x^2 - 1}$;

2) $y = \sqrt{5 - 2x}$;

3) $y = \sqrt{x^2 - 4x - 5}$;

4) $y = \sqrt{x - \sqrt{x}}$.

1) $y = \sqrt{x^2 - 1}$

Область определения функции, содержащей квадратный корень, находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Для данной функции это условие записывается в виде неравенства: $x^2 - 1 \geq 0$

Разложим левую часть неравенства на множители, используя формулу разности квадратов: $(x - 1)(x + 1) \geq 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корнями соответствующего уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1]$, $[-1; 1]$ и $[1; \infty)$.

Проверяем знаки выражения $(x - 1)(x + 1)$ на каждом интервале. Выражение неотрицательно при $x \leq -1$ или $x \geq 1$.

Следовательно, область определения функции — это объединение двух промежутков.

Ответ: $(-\infty; -1] \cup [1; \infty)$.

2) $y = \sqrt{5 - 2x}$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $5 - 2x \geq 0$

Решаем это линейное неравенство: $-2x \geq -5$

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-2) знак неравенства меняется на противоположный: $x \leq \frac{-5}{-2}$ $x \leq 2.5$

Таким образом, область определения функции — это все числа, меньшие или равные 2.5.

Ответ: $(-\infty; 2.5]$.

3) $y = \sqrt{x^2 - 4x - 5}$

Область определения функции задается неравенством: $x^2 - 4x - 5 \geq 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. Используем теорему Виета: сумма корней равна 4, а их произведение равно -5. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Либо через дискриминант: $D = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2$. $x_{1,2} = \frac{4 \pm 6}{2}$, откуда $x_1 = -1$, $x_2 = 5$.

Разложим квадратный трехчлен на множители: $(x - (-1))(x - 5) \geq 0$ $(x + 1)(x - 5) \geq 0$

Графиком функции $f(x) = x^2 - 4x - 5$ является парабола с ветвями, направленными вверх, пересекающая ось Ox в точках -1 и 5. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Решением неравенства являются промежутки $x \leq -1$ и $x \geq 5$.

Ответ: $(-\infty; -1] \cup [5; \infty)$.

4) $y = \sqrt{x - \sqrt{x}}$

Для нахождения области определения этой функции необходимо, чтобы выполнялись два условия одновременно (система неравенств): $\begin{cases} x \geq 0 & \text{(выражение под внутренним корнем)} \\ x - \sqrt{x} \geq 0 & \text{(выражение под внешним корнем)} \end{cases}$

Первое неравенство $x \geq 0$ уже задает ограничение.

Решим второе неравенство $x - \sqrt{x} \geq 0$. Вынесем $\sqrt{x}$ за скобки: $\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) \geq 0$

Из первого условия системы мы знаем, что $x \geq 0$, поэтому множитель $\sqrt{x}$ всегда неотрицателен. Неравенство будет верным в двух случаях:
а) Если $\sqrt{x} = 0$, то есть $x = 0$. При подстановке получаем $0 \geq 0$, что верно.
б) Если $\sqrt{x} > 0$, то можно разделить обе части неравенства на $\sqrt{x}$ без изменения знака: $\sqrt{x} - 1 \geq 0$ $\sqrt{x} \geq 1$ Возведя обе части в квадрат (это возможно, так как обе части неотрицательны), получим: $x \geq 1$

Объединяя оба случая (а и б), получаем решение для второго неравенства: $x = 0$ или $x \geq 1$.

Это решение полностью удовлетворяет первому условию системы ($x \geq 0$).

Следовательно, область определения функции — это точка $x=0$ и промежуток от 1 до бесконечности.

Ответ: $\{0\} \cup [1; \infty)$.

В упражнениях 7.88–7.91 найдите экстремумы функций.

7. 88.

1) $y = 2x^3 - 3x^2$;

2) $y = x^3 - 6x^2 + 12x$;

3) $y = 4x - x^4$;

4) $y = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7$.

1) $y = 2x^3 - 3x^2$

Для нахождения экстремумов функции найдем ее производную, приравняем ее к нулю для определения критических точек, а затем исследуем знак производной на интервалах.

1. Находим производную функции:

$y' = (2x^3 - 3x^2)' = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x = 6x^2 - 6x$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$6x^2 - 6x = 0$

$6x(x - 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

3. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения. Производная $y' = 6x(x-1)$ представляет собой параболу с ветвями вверх, пересекающую ось Ox в точках 0 и 1.

При $x \in (-\infty; 0)$, производная $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (0; 1)$, производная $y' < 0$, функция убывает.

При $x \in (1; +\infty)$, производная $y' > 0$, функция возрастает.

4. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума.

5. Вычисляем значения функции в точках экстремума (экстремумы функции):

$y_{max} = y(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 = 0$

$y_{min} = y(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 = 2 - 3 = -1$

Ответ: $x_{max} = 0$, $y_{max} = 0$; $x_{min} = 1$, $y_{min} = -1$.

2) $y = x^3 - 6x^2 + 12x$

1. Находим производную функции:

$y' = (x^3 - 6x^2 + 12x)' = 3x^2 - 12x + 12$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$3x^2 - 12x + 12 = 0$

Делим уравнение на 3:

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

Единственная критическая точка: $x = 2$.

3. Исследуем знак производной $y' = 3(x - 2)^2$. Так как $(x - 2)^2 \ge 0$ для всех $x$, то производная $y' \ge 0$ на всей области определения. Производная не меняет знак при переходе через точку $x=2$.

Следовательно, функция является возрастающей на всей числовой прямой и не имеет точек экстремума. Точка $x=2$ является точкой перегиба.

Ответ: экстремумов нет.

3) $y = 4x - x^4$

1. Находим производную функции:

$y' = (4x - x^4)' = 4 - 4x^3$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$4 - 4x^3 = 0$

$4x^3 = 4$

$x^3 = 1$

Критическая точка: $x = 1$.

3. Исследуем знак производной $y' = 4(1 - x^3)$.

При $x < 1$ (например, $x=0$), $y' = 4(1 - 0) = 4 > 0$, функция возрастает.

При $x > 1$ (например, $x=2$), $y' = 4(1 - 8) = -28 < 0$, функция убывает.

4. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума.

5. Вычисляем значение максимума функции:

$y_{max} = y(1) = 4(1) - (1)^4 = 4 - 1 = 3$

Ответ: $x_{max} = 1$, $y_{max} = 3$.

4) $y = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7$

1. Находим производную функции:

$y' = (2x^3 - 6x^2 - 18x + 7)' = 6x^2 - 12x - 18$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$6x^2 - 12x - 18 = 0$

Делим уравнение на 6:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Критические точки: $x = -1$ и $x = 3$.

3. Исследуем знак производной $y' = 6(x+1)(x-3)$. Это парабола с ветвями вверх.

При $x \in (-\infty; -1)$, производная $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (-1; 3)$, производная $y' < 0$, функция убывает.

При $x \in (3; +\infty)$, производная $y' > 0$, функция возрастает.

4. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума. В точке $x = 3$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума.

5. Вычисляем экстремумы функции:

$y_{max} = y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1)^2 - 18(-1) + 7 = -2 - 6 + 18 + 7 = 17$

$y_{min} = y(3) = 2(3)^3 - 6(3)^2 - 18(3) + 7 = 2(27) - 6(9) - 54 + 7 = 54 - 54 - 54 + 7 = -47$

Ответ: $x_{max} = -1$, $y_{max} = 17$; $x_{min} = 3$, $y_{min} = -47$.

7.89. 1) $y = \frac{x}{1+x+x^2}$;

2) $y = \frac{3x}{1+x^2}$;

3) $y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x-1}$;

4) $y = \frac{2x - 1}{x^2 - 1}$.

1) Для нахождения области значений функции $y = \frac{x}{1+x+x^2}$, рассмотрим это выражение как уравнение относительно $x$ для заданного значения $y$.

Область определения функции — все действительные числа, так как знаменатель $x^2+x+1$ имеет отрицательный дискриминант ($D=1^2-4\cdot1\cdot1 = -3$) и положительный старший коэффициент, а значит, он всегда положителен.

Перепишем уравнение:

$y(x^2+x+1) = x$

$yx^2 + yx + y = x$

$yx^2 + (y-1)x + y = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Для того чтобы $x$ был действительным числом, дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным.

Рассмотрим два случая:

а) Если $y=0$, уравнение принимает вид $-x=0$, откуда $x=0$. Это означает, что $y=0$ является значением функции.

б) Если $y \neq 0$, то $yx^2 + (y-1)x + y = 0$ является квадратным уравнением. Его дискриминант $D_x$ должен быть больше или равен нулю:

$D_x = (y-1)^2 - 4 \cdot y \cdot y \ge 0$

$y^2 - 2y + 1 - 4y^2 \ge 0$

$-3y^2 - 2y + 1 \ge 0$

Умножим неравенство на -1 и сменим знак:

$3y^2 + 2y - 1 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3y^2 + 2y - 1 = 0$:

$y_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6}$

$y_1 = \frac{-2-4}{6} = -1$, $y_2 = \frac{-2+4}{6} = \frac{1}{3}$.

Поскольку парабола $f(y) = 3y^2 + 2y - 1$ направлена ветвями вверх, неравенство $3y^2 + 2y - 1 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $-1 \le y \le \frac{1}{3}$.

Объединяя оба случая, получаем, что область значений функции — это отрезок $[-1, \frac{1}{3}]$.

Ответ: $E(y) = [-1; \frac{1}{3}]$.

2) Для нахождения области значений функции $y = \frac{3x}{1+x^2}$ поступим аналогично предыдущему пункту.

Область определения функции — все действительные числа, так как $1+x^2 > 0$ для любого $x$.

Выразим $x$ через $y$:

$y(1+x^2) = 3x$

$yx^2 - 3x + y = 0$

а) Если $y=0$, то $-3x=0$, откуда $x=0$. Значит, $y=0$ входит в область значений.

б) Если $y \neq 0$, то для существования действительных решений $x$ дискриминант квадратного уравнения $yx^2 - 3x + y = 0$ должен быть неотрицателен:

$D_x = (-3)^2 - 4 \cdot y \cdot y \ge 0$

$9 - 4y^2 \ge 0$

$4y^2 \le 9$

$y^2 \le \frac{9}{4}$

Это неравенство равносильно $|y| \le \frac{3}{2}$, то есть $-\frac{3}{2} \le y \le \frac{3}{2}$.

Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$.

Ответ: $E(y) = [-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}]$.

3) Для нахождения области значений функции $y = \frac{x^2-2x+2}{x-1}$ сначала определим область определения: $x \neq 1$.

Преобразуем числитель, выделив полный квадрат:

$x^2-2x+2 = (x^2-2x+1)+1 = (x-1)^2+1$.

Тогда функцию можно переписать так:

$y = \frac{(x-1)^2+1}{x-1} = x-1 + \frac{1}{x-1}$

Сделаем замену $t = x-1$. Так как $x \neq 1$, то $t \neq 0$. Функция примет вид $y(t) = t + \frac{1}{t}$.

Рассмотрим два случая:

а) Если $t > 0$, то по неравенству Коши (о средних арифметическом и геометрическом) имеем:

$y = t + \frac{1}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 2$.

Таким образом, для $t>0$ значения $y$ лежат в промежутке $[2, +\infty)$.

б) Если $t < 0$, пусть $t = -u$, где $u > 0$. Тогда:

$y = -u + \frac{1}{-u} = -(u + \frac{1}{u})$.

Поскольку $u + \frac{1}{u} \ge 2$, то $-(u + \frac{1}{u}) \le -2$.

Таким образом, для $t<0$ значения $y$ лежат в промежутке $(-\infty, -2]$.

Объединяя оба случая, получаем область значений исходной функции.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

4) Для нахождения области значений функции $y = \frac{2x-1}{x^2-1}$ определим область определения: $x^2-1 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 1$.

Рассмотрим уравнение как уравнение относительно $x$:

$y(x^2-1) = 2x-1$

$yx^2 - y = 2x-1$

$yx^2 - 2x + (1-y) = 0$

а) Если $y=0$, то $-2x+1=0$, откуда $x=1/2$. Это значение $x$ входит в область определения, так что $y=0$ является значением функции.

б) Если $y \neq 0$, то для существования действительных $x$ дискриминант этого квадратного уравнения должен быть неотрицателен:

$D_x = (-2)^2 - 4 \cdot y \cdot (1-y) \ge 0$

$4 - 4y + 4y^2 \ge 0$

$y^2 - y + 1 \ge 0$

Дискриминант квадратного трехчлена $y^2 - y + 1$ равен $D_y = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$. Поскольку старший коэффициент положителен, трехчлен $y^2 - y + 1$ всегда положителен при любом действительном $y$.

Это означает, что для любого действительного $y$ уравнение $yx^2 - 2x + (1-y) = 0$ имеет действительные корни $x$.

Нам нужно лишь убедиться, что для любого $y$ хотя бы один из этих корней не равен $1$ или $-1$. Но если мы подставим $x=1$ или $x=-1$ в уравнение $yx^2 - 2x + (1-y) = 0$, то получим противоречия $-1=0$ и $3=0$ соответственно. Это значит, что корни этого уравнения никогда не равны $1$ или $-1$.

Следовательно, для любого $y \in \mathbb{R}$ найдется такое $x$ из области определения функции, что $y=f(x)$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

7.90. 1) $y = \frac{2x^2}{3} \cdot \sqrt[3]{6x - 7};$

2) $y = -x^2 \cdot \sqrt{x^2 + 2}.$

1) Дана функция $y = \frac{2x^2}{3} \cdot \sqrt[3]{6x-7}$.

Для нахождения производной этой функции мы будем использовать правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \frac{2x^2}{3}$ и $v(x) = \sqrt[3]{6x-7} = (6x-7)^{1/3}$.

Сначала найдем производную функции $u(x)$:

$u'(x) = (\frac{2x^2}{3})' = \frac{2}{3} \cdot (x^2)' = \frac{2}{3} \cdot 2x = \frac{4x}{3}$.

Далее найдем производную функции $v(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$v'(x) = ((6x-7)^{1/3})' = \frac{1}{3}(6x-7)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (6x-7)' = \frac{1}{3}(6x-7)^{-2/3} \cdot 6 = 2(6x-7)^{-2/3} = \frac{2}{\sqrt[3]{(6x-7)^2}}$.

Теперь подставим найденные производные $u'$ и $v'$ в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = \frac{4x}{3} \cdot \sqrt[3]{6x-7} + \frac{2x^2}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt[3]{(6x-7)^2}} = \frac{4x\sqrt[3]{6x-7}}{3} + \frac{4x^2}{3\sqrt[3]{(6x-7)^2}}$.

Чтобы упростить выражение, приведем дроби к общему знаменателю $3\sqrt[3]{(6x-7)^2}$:

$y' = \frac{4x\sqrt[3]{6x-7} \cdot \sqrt[3]{(6x-7)^2}}{3\sqrt[3]{(6x-7)^2}} + \frac{4x^2}{3\sqrt[3]{(6x-7)^2}} = \frac{4x\sqrt[3]{(6x-7)^3} + 4x^2}{3\sqrt[3]{(6x-7)^2}}$.

Так как $\sqrt[3]{(6x-7)^3} = 6x-7$, упростим числитель:

$y' = \frac{4x(6x-7) + 4x^2}{3\sqrt[3]{(6x-7)^2}} = \frac{24x^2 - 28x + 4x^2}{3\sqrt[3]{(6x-7)^2}} = \frac{28x^2 - 28x}{3\sqrt[3]{(6x-7)^2}}$.

В завершение, вынесем общий множитель $28x$ в числителе:

$y' = \frac{28x(x-1)}{3\sqrt[3]{(6x-7)^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{28x(x-1)}{3\sqrt[3]{(6x-7)^2}}$.

2) Дана функция $y = -x^2 \cdot \sqrt{x^2+2}$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = -x^2$ и $v(x) = \sqrt{x^2+2} = (x^2+2)^{1/2}$.

Найдем производную функции $u(x)$:

$u'(x) = (-x^2)' = -2x$.

Найдем производную функции $v(x)$, используя цепное правило:

$v'(x) = ((x^2+2)^{1/2})' = \frac{1}{2}(x^2+2)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x^2+2)' = \frac{1}{2}(x^2+2)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+2}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (-2x) \cdot \sqrt{x^2+2} + (-x^2) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+2}} = -2x\sqrt{x^2+2} - \frac{x^3}{\sqrt{x^2+2}}$.

Приведем выражение к общему знаменателю $\sqrt{x^2+2}$:

$y' = \frac{-2x\sqrt{x^2+2} \cdot \sqrt{x^2+2}}{\sqrt{x^2+2}} - \frac{x^3}{\sqrt{x^2+2}} = \frac{-2x(x^2+2) - x^3}{\sqrt{x^2+2}}$.

Упростим числитель:

$y' = \frac{-2x^3 - 4x - x^3}{\sqrt{x^2+2}} = \frac{-3x^3 - 4x}{\sqrt{x^2+2}}$.

Вынесем общий множитель $-x$ в числителе:

$y' = \frac{-x(3x^2+4)}{\sqrt{x^2+2}}$.

Ответ: $y' = -\frac{x(3x^2+4)}{\sqrt{x^2+2}}$.

7.91. 1) $y = \sin^2 x - \cos x;$

2) $y = \sin^2 x - \frac{x}{2};$

3) $y = \sin x + \operatorname{tg} x;$

4) $y = x - \operatorname{arctg} x;$

5) $y = \frac{x}{\sqrt{2}} + \cos x;$

6) $y = \frac{\cos x}{2 + \sin x}.$

1) $y = \sin^2 x - \cos x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Функция является периодической с периодом $2\pi$.

2. Найдем производную функции:
$y' = (\sin^2 x - \cos x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' - (-\sin x) = 2\sin x \cos x + \sin x = \sin x(2\cos x + 1)$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$\sin x(2\cos x + 1) = 0$.
Это уравнение распадается на два:
а) $\sin x = 0 \implies x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
б) $2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1/2 \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, образованных критическими точками на промежутке $[0, 2\pi]$: $0, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, 2\pi$.
- На интервале $(0, \frac{2\pi}{3})$: $y'(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2})(2\cos(\frac{\pi}{2})+1) = 1(0+1) = 1 > 0$, функция возрастает.- На интервале $(\frac{2\pi}{3}, \pi)$: $y'(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4})(2\cos(\frac{3\pi}{4})+1) = \frac{\sqrt{2}}{2}(2(-\frac{\sqrt{2}}{2})+1) = \frac{\sqrt{2}}{2}(-\sqrt{2}+1) < 0$, функция убывает.- На интервале $(\pi, \frac{4\pi}{3})$: $y'(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{4})(2\cos(\frac{5\pi}{4})+1) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})(2(-\frac{\sqrt{2}}{2})+1) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})(-\sqrt{2}+1) > 0$, функция возрастает.- На интервале $(\frac{4\pi}{3}, 2\pi)$: $y'(\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2})(2\cos(\frac{3\pi}{2})+1) = (-1)(0+1) = -1 < 0$, функция убывает.

5. Определим точки экстремума:
- При $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$ (или $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$) производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точки локального максимума.- При $x = \pi k$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точки локального минимума.

Ответ:Функция возрастает на интервалах $(2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$ и $(\pi + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Функция убывает на интервалах $(\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \pi + 2\pi n)$ и $(\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, 2\pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \sin^2 x - \frac{x}{2}$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$y' = (\sin^2 x - \frac{x}{2})' = 2\sin x \cos x - \frac{1}{2} = \sin(2x) - \frac{1}{2}$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$\sin(2x) - \frac{1}{2} = 0 \implies \sin(2x) = \frac{1}{2}$.
$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Исследуем знак производной:
- Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $\sin(2x) > \frac{1}{2}$. Это выполняется при $2x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$, откуда $x \in (\frac{\pi}{12} + \pi n, \frac{5\pi}{12} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.- Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $\sin(2x) < \frac{1}{2}$. Это выполняется при $2x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$, откуда $x \in (\frac{5\pi}{12} + \pi n, \frac{13\pi}{12} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

5. Определим точки экстремума:
- При $x = \frac{\pi}{12} + \pi n$ (соответствует четным $k$ в общей формуле) производная меняет знак с `-` на `+`, это точки локального минимума.- При $x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$ (соответствует нечетным $k$) производная меняет знак с `+` на `-`, это точки локального максимума.

Ответ:Функция возрастает на интервалах $(\frac{\pi}{12} + \pi n, \frac{5\pi}{12} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Функция убывает на интервалах $(\frac{5\pi}{12} + \pi n, \frac{13\pi}{12} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x = \frac{5\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x = \frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $y = \sin x + \tg x$

1. Область определения функции: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем производную функции:
$y' = (\sin x + \tg x)' = \cos x + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos^3 x + 1}{\cos^2 x}$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$\frac{\cos^3 x + 1}{\cos^2 x} = 0 \implies \cos^3 x + 1 = 0 \implies \cos x = -1$.
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти точки принадлежат области определения.

4. Исследуем знак производной. Знаменатель $\cos^2 x > 0$ в области определения. Знак $y'$ определяется знаком числителя $\cos^3 x + 1$.
$\cos^3 x + 1 > 0 \implies \cos x > -1$. Это неравенство верно для всех $x$ из области определения функции, кроме точек, где $\cos x = -1$.
Таким образом, $y' > 0$ для всех $x$ из области определения, за исключением критических точек $x = \pi + 2\pi k$, где $y' = 0$.

5. Вывод: функция является возрастающей на каждом интервале своей области определения, например, $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$. Точки $x = \pi + 2\pi k$ являются стационарными, но не являются точками экстремума (это точки перегиба). Локальных максимумов и минимумов нет.

Ответ:Функция возрастает на каждом интервале области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$. Экстремумов нет.

4) $y = x - \operatorname{arctg} x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$y' = (x - \operatorname{arctg} x)' = 1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{1+x^2-1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$\frac{x^2}{1+x^2} = 0 \implies x^2 = 0 \implies x=0$.

4. Исследуем знак производной. Так как $x^2 \ge 0$ и $1+x^2 > 0$, то $y' = \frac{x^2}{1+x^2} \ge 0$ для всех $x$. Производная равна нулю только в точке $x=0$.

5. Вывод: функция является неубывающей на всей числовой прямой. Так как производная обращается в ноль только в одной точке, функция строго возрастает на $(-\infty, \infty)$. Точка $x=0$ не является точкой экстремума. Экстремумов нет.

Ответ:Функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty, \infty)$. Экстремумов нет.

5) $y = \frac{x}{\sqrt{2}} + \cos x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$y' = (\frac{x}{\sqrt{2}} + \cos x)' = \frac{1}{\sqrt{2}} - \sin x$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$\frac{1}{\sqrt{2}} - \sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Исследуем знак производной:
- Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $\sin x < \frac{1}{\sqrt{2}}$. Это выполняется при $x \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{9\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.- Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $\sin x > \frac{1}{\sqrt{2}}$. Это выполняется при $x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

5. Определим точки экстремума:
- При $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ (соответствует четным $k$) производная меняет знак с `+` на `-`, это точки локального максимума.- При $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ (соответствует нечетным $k$) производная меняет знак с `-` на `+`, это точки локального минимума.

Ответ:Функция возрастает на интервалах $(\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{9\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Функция убывает на интервалах $(\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6) $y = \frac{\cos x}{2 + \sin x}$

1. Область определения функции: знаменатель $2 + \sin x$ не должен быть равен нулю. Поскольку $-1 \le \sin x \le 1$, то $1 \le 2+\sin x \le 3$, значит знаменатель никогда не равен нулю. $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Функция периодическая с периодом $2\pi$.

2. Найдем производную функции, используя правило частного:
$y' = \frac{(\cos x)'(2 + \sin x) - \cos x(2 + \sin x)'}{(2 + \sin x)^2} = \frac{-\sin x(2 + \sin x) - \cos x(\cos x)}{(2 + \sin x)^2}$
$y' = \frac{-2\sin x - \sin^2 x - \cos^2 x}{(2 + \sin x)^2} = \frac{-2\sin x - 1}{(2 + \sin x)^2}$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$\frac{-2\sin x - 1}{(2 + \sin x)^2} = 0 \implies -2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$.
$x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ это точки $x = \frac{7\pi}{6}$ и $x = \frac{11\pi}{6}$.

4. Исследуем знак производной. Знаменатель $(2+\sin x)^2$ всегда положителен. Знак $y'$ противоположен знаку выражения $2\sin x + 1$.
- Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $2\sin x + 1 < 0 \implies \sin x < -\frac{1}{2}$. Это выполняется при $x \in (\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.- Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $2\sin x + 1 > 0 \implies \sin x > -\frac{1}{2}$. Это выполняется при $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

5. Определим точки экстремума:
- При $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точки локального минимума.- При $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точки локального максимума.

Ответ:Функция возрастает на интервалах $(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Функция убывает на интервалах $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

7.92. Покажите, что функция является монотонной на всей числовой прямой:

1) $f(x) = \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} + x - 5;$

2) $f(x) = 6 - 6x - 2x^3 + 3x^2;$

3) $y = 2x - \sin x;$

4) $y = \cos \frac{x}{2} - x.$

1) Дана функция $f(x) = \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} + x - 5$.

Для исследования функции на монотонность на всей числовой прямой, найдем ее производную. Функция является монотонной, если ее производная сохраняет знак (неположительна или неотрицательна) на всей области определения.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} + x - 5\right)' = \frac{3x^2}{6} - \frac{2x}{2} + 1 = \frac{x^2}{2} - x + 1$.

Теперь исследуем знак производной $f'(x) = \frac{1}{2}x^2 - x + 1$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{2} > 0$). Найдем дискриминант квадратного трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и ветви параболы направлены вверх, то вся парабола лежит выше оси абсцисс, то есть $f'(x) > 0$ при любом значении $x$.

Также можно выделить полный квадрат:

$f'(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 2x + 2) = \frac{1}{2}((x^2 - 2x + 1) + 1) = \frac{1}{2}((x-1)^2 + 1)$.

Поскольку $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $(x-1)^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, $f'(x) = \frac{1}{2}((x-1)^2 + 1) \ge \frac{1}{2} > 0$.

Так как производная $f'(x)$ положительна на всей числовой прямой, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Следовательно, функция является монотонной.

Ответ: Функция является монотонной (строго возрастает) на всей числовой прямой, так как ее производная $f'(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 1$ всегда положительна.

2) Дана функция $f(x) = 6 - 6x - 2x^3 + 3x^2$. Перепишем ее в стандартном виде: $f(x) = -2x^3 + 3x^2 - 6x + 6$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (-2x^3 + 3x^2 - 6x + 6)' = -2 \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x - 6 = -6x^2 + 6x - 6$.

Исследуем знак производной $f'(x) = -6x^2 + 6x - 6$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-6 < 0$). Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-6) = 36 - 144 = -108$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и ветви параболы направлены вниз, то вся парабола лежит ниже оси абсцисс, то есть $f'(x) < 0$ при любом значении $x$.

Также можно выделить полный квадрат:

$f'(x) = -6(x^2 - x + 1) = -6\left(\left(x^2 - x + \frac{1}{4}\right) - \frac{1}{4} + 1\right) = -6\left(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\right)$.

Поскольку $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$, то $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}$. Тогда $f'(x) = -6\left(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\right) \le -6 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{9}{2} < 0$.

Так как производная $f'(x)$ отрицательна на всей числовой прямой, функция $f(x)$ является строго убывающей на всей числовой прямой. Следовательно, функция является монотонной.

Ответ: Функция является монотонной (строго убывает) на всей числовой прямой, так как ее производная $f'(x) = -6\left(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\right)$ всегда отрицательна.

3) Дана функция $y = 2x - \sin x$.

Найдем производную функции $y$ по переменной $x$:

$y' = (2x - \sin x)' = 2 - \cos x$.

Исследуем знак производной $y'$. Известно, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Тогда для $y' = 2 - \cos x$ имеем:

Минимальное значение $y'$ достигается при $\cos x = 1$ и равно $2 - 1 = 1$.

Максимальное значение $y'$ достигается при $\cos x = -1$ и равно $2 - (-1) = 3$.

Таким образом, $1 \le y' \le 3$ для любого $x$.

Поскольку $y' > 0$ на всей числовой прямой, функция $y(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой, а значит, и монотонной.

Ответ: Функция является монотонной (строго возрастает) на всей числовой прямой, так как ее производная $y' = 2 - \cos x$ всегда положительна.

4) Дана функция $y = \cos \frac{x}{2} - x$.

Найдем производную функции $y$ по переменной $x$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = \left(\cos \frac{x}{2} - x\right)' = -\sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' - 1 = -\sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) - 1$.

Исследуем знак производной $y'$. Область значений функции синус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin\left(\frac{x}{2}\right) \le 1$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Умножим неравенство на $-\frac{1}{2}$, знаки неравенства изменятся на противоположные:

$-\frac{1}{2} \cdot 1 \le -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) \le -\frac{1}{2} \cdot (-1) \implies -\frac{1}{2} \le -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) \le \frac{1}{2}$.

Теперь вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-\frac{1}{2} - 1 \le -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) - 1 \le \frac{1}{2} - 1$.

$-\frac{3}{2} \le y' \le -\frac{1}{2}$.

Поскольку $y' \le -\frac{1}{2} < 0$ на всей числовой прямой, функция $y(x)$ является строго убывающей на всей числовой прямой, а значит, и монотонной.

Ответ: Функция является монотонной (строго убывает) на всей числовой прямой, так как ее производная $y' = -\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2}) - 1$ всегда отрицательна.