Страница 221 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.77–7.80 найдите промежутки возрастания и убывания функций.

7. 77.

1) $y = 2x - 1$; 2) $y = 3 - \frac{x}{2}$; 3) $y = 2x^2 - 4x + 5$;

4) $y = (x - 2)(x + 3)$; 5) $y = 1 - (2 - x)(3 + 2x)$; 6) $y = x^2 + x + 1$.

1)Функция $y = 2x - 1$ является линейной функцией вида $y = kx + b$. Коэффициент $k = 2$. Поскольку $k > 0$, функция возрастает на всей своей области определения, которой является множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$.

Для проверки найдем производную функции: $y' = (2x - 1)' = 2$. Так как производная $y' = 2$ положительна при любых значениях $x$, функция является возрастающей на всей числовой оси.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

2)Функция $y = 3 - \frac{x}{2}$ является линейной. Представим ее в стандартном виде $y = -\frac{1}{2}x + 3$. Коэффициент $k = -\frac{1}{2}$. Поскольку $k < 0$, функция убывает на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Найдем производную: $y' = (3 - \frac{x}{2})' = -\frac{1}{2}$. Так как производная $y' = -\frac{1}{2}$ отрицательна при любых значениях $x$, функция является убывающей на всей числовой оси.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

3)Функция $y = 2x^2 - 4x + 5$ является квадратичной. График этой функции — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=2$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает до вершины и возрастает после нее.

Найдем производную, чтобы определить точку экстремума (вершину параболы): $y' = (2x^2 - 4x + 5)' = 4x - 4$.

Приравняем производную к нулю: $4x - 4 = 0 \implies 4x = 4 \implies x = 1$.

При $x < 1$, производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.

При $x > 1$, производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 1]$.

4)Раскроем скобки в выражении для функции $y = (x - 2)(x + 3)$:

$y = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$.

Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $a=1 > 0$. Найдем производную: $y' = (x^2 + x - 6)' = 2x + 1$.

Найдем критическую точку, приравняв производную к нулю: $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$.

При $x < -0.5$, производная $y' < 0$, функция убывает.

При $x > -0.5$, производная $y' > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-0.5; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; -0.5]$.

5)Упростим выражение для функции $y = 1 - (2 - x)(3 + 2x)$:

$y = 1 - (6 + 4x - 3x - 2x^2) = 1 - (6 + x - 2x^2) = 1 - 6 - x + 2x^2 = 2x^2 - x - 5$.

Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх ($a=2 > 0$). Найдем производную: $y' = (2x^2 - x - 5)' = 4x - 1$.

Приравняем производную к нулю: $4x - 1 = 0 \implies 4x = 1 \implies x = \frac{1}{4} = 0.25$.

При $x < 0.25$, производная $y' < 0$, функция убывает.

При $x > 0.25$, производная $y' > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0.25; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 0.25]$.

6)Функция $y = x^2 + x + 1$ — квадратичная, график — парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$).

Найдем производную: $y' = (x^2 + x + 1)' = 2x + 1$.

Найдем критическую точку: $2x + 1 = 0 \implies x = -0.5$.

При $x < -0.5$, производная $y' < 0$, функция убывает.

При $x > -0.5$, производная $y' > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-0.5; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; -0.5]$.

7.78. 1) $y = \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 7x - 8;$

2) $y = x^3 + 3x^2 - 6x + 5;$

3) $y = \frac{1}{x-2};$

4) $y = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}.$

1) $y = \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 7x - 8$

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума, выполним следующие шаги:

1. Находим область определения функции.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции.
$y' = (\frac{x^3}{3} - 4x^2 + 7x - 8)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 4 \cdot 2x + 7 = x^2 - 8x + 7$.

3. Находим критические точки.
Приравниваем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:$y' = 0 \Rightarrow x^2 - 8x + 7 = 0$.Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:$x_1 + x_2 = 8$$x_1 \cdot x_2 = 7$Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.Производная определена на всей области определения функции, поэтому других критических точек нет.

4. Анализируем знак производной на интервалах.
Критические точки $x=1$ и $x=7$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 7)$ и $(7; +\infty)$.График производной $y' = x^2 - 8x + 7$ — это парабола с ветвями вверх.

• При $x \in (-\infty; 1)$, $y' > 0$, следовательно, функция $y$ возрастает.
• При $x \in (1; 7)$, $y' < 0$, следовательно, функция $y$ убывает.
• При $x \in (7; +\infty)$, $y' > 0$, следовательно, функция $y$ возрастает.

5. Находим точки экстремума.
В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума.$x_{max} = 1$.В точке $x=7$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.$x_{min} = 7$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 1]$ и $[7, +\infty)$; убывает на промежутке $[1, 7]$; точка максимума $x_{max}=1$; точка минимума $x_{min}=7$.

2) $y = x^3 + 3x^2 - 6x + 5$

1. Находим область определения функции.
Функция является многочленом. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции.
$y' = (x^3 + 3x^2 - 6x + 5)' = 3x^2 + 6x - 6 = 3(x^2 + 2x - 2)$.

3. Находим критические точки.
$y' = 0 \Rightarrow 3(x^2 + 2x - 2) = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 2 = 0$.Решим квадратное уравнение через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.Критические точки: $x_1 = -1 - \sqrt{3}$ и $x_2 = -1 + \sqrt{3}$.

4. Анализируем знак производной на интервалах.
Интервалы: $(-\infty; -1-\sqrt{3})$, $(-1-\sqrt{3}; -1+\sqrt{3})$ и $(-1+\sqrt{3}; +\infty)$.График производной $y' = 3x^2 + 6x - 6$ — парабола с ветвями вверх.

• При $x \in (-\infty; -1-\sqrt{3})$, $y' > 0$, функция $y$ возрастает.
• При $x \in (-1-\sqrt{3}; -1+\sqrt{3})$, $y' < 0$, функция $y$ убывает.
• При $x \in (-1+\sqrt{3}; +\infty)$, $y' > 0$, функция $y$ возрастает.

5. Находим точки экстремума.
В точке $x = -1 - \sqrt{3}$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума.$x_{max} = -1 - \sqrt{3}$.В точке $x = -1 + \sqrt{3}$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.$x_{min} = -1 + \sqrt{3}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1-\sqrt{3}]$ и $[-1+\sqrt{3}, +\infty)$; убывает на промежутке $[-1-\sqrt{3}, -1+\sqrt{3}]$; точка максимума $x_{max}=-1-\sqrt{3}$; точка минимума $x_{min}=-1+\sqrt{3}$.

3) $y = \frac{1}{x-2}$

1. Находим область определения функции.
Знаменатель не может быть равен нулю: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.$D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Находим производную функции.
Используем правило дифференцирования частного или степенной функции: $y = (x-2)^{-1}$.$y' = -1 \cdot (x-2)^{-2} \cdot (x-2)' = -\frac{1}{(x-2)^2}$.

3. Находим критические точки.
$y' = 0 \Rightarrow -\frac{1}{(x-2)^2} = 0$. Уравнение не имеет решений, так как числитель равен -1.Производная не определена в точке $x=2$, но эта точка не входит в область определения функции.Следовательно, у функции нет критических точек.

4. Анализируем знак производной.
Выражение $(x-2)^2$ всегда положительно для любого $x$ из области определения.Поэтому $y' = -\frac{1}{(x-2)^2}$ всегда отрицательна ($y' < 0$) на всей области определения.

5. Определяем промежутки возрастания и убывания.
Так как производная всегда отрицательна, функция убывает на всей своей области определения.Промежутки убывания: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.Промежутков возрастания нет.Так как производная не меняет знак и нет критических точек, у функции нет экстремумов.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$; промежутков возрастания и точек экстремума нет.

4) $y = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}$

1. Находим область определения функции.
Знаменатель не может быть равен нулю: $x \neq 0$.$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции.
$y' = (\frac{x}{4} + \frac{4}{x})' = \frac{1}{4} - \frac{4}{x^2}$.

3. Находим критические точки.
$y' = 0 \Rightarrow \frac{1}{4} - \frac{4}{x^2} = 0$.$\frac{1}{4} = \frac{4}{x^2} \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$.Критические точки: $x_1 = -4$, $x_2 = 4$.Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в область определения функции.

4. Анализируем знак производной на интервалах.
Точки $x=-4, x=0, x=4$ разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$.Приведем производную к общему знаменателю: $y' = \frac{x^2 - 16}{4x^2}$.Знак производной зависит от знака числителя $x^2 - 16$, так как знаменатель $4x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$.

• При $x \in (-\infty; -4)$, $x^2-16 > 0$, значит $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-4; 0)$, $x^2-16 < 0$, значит $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; 4)$, $x^2-16 < 0$, значит $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (4; +\infty)$, $x^2-16 > 0$, значит $y' > 0$, функция возрастает.

5. Находим точки экстремума.
В точке $x=-4$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума.$x_{max} = -4$.В точке $x=4$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.$x_{min} = 4$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -4]$ и $[4, +\infty)$; убывает на промежутках $[-4, 0)$ и $(0, 4]$; точка максимума $x_{max}=-4$; точка минимума $x_{min}=4$.

7.79. 1) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right);$

2) $y = 3 - \cos 2x;$

3) $y = \mathrm{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right);$

4) $y = \mathrm{ctg}\frac{x}{2}.$

1) Чтобы найти основной период функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{4})$, мы используем общую формулу для периода функции вида $y = A \sin(kx + \phi) + C$. Основной (наименьший положительный) период такой функции вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период базовой функции $y = \sin(x)$.
Основной период функции $y = \sin(x)$ равен $T_0 = 2\pi$.
В нашей функции $y = \sin(1 \cdot x - \frac{\pi}{4})$ коэффициент при $x$ равен $k = 1$. Фазовый сдвиг $\phi = -\frac{\pi}{4}$ и амплитуда $A=1$ не влияют на величину периода.
Подставляем значение $k$ в формулу для периода:
$T = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

2) Для нахождения основного периода функции $y = 3 - \cos(2x)$ воспользуемся общей формулой для периода функции вида $y = C + A \cos(kx + \phi)$. Основной период такой функции вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период базовой функции $y = \cos(x)$.
Основной период функции $y = \cos(x)$ равен $T_0 = 2\pi$.
В нашей функции $y = 3 - \cos(2x)$ коэффициент при $x$ равен $k = 2$. Вертикальный сдвиг $C=3$ и амплитуда $A=-1$ не влияют на величину периода.
Подставляем значение $k$ в формулу для периода:
$T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

3) Чтобы найти основной период функции $y = \tg(x + \frac{\pi}{3})$, мы используем общую формулу для периода функции вида $y = A \tg(kx + \phi) + C$. Основной период такой функции вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период базовой функции $y = \tg(x)$.
Основной период функции $y = \tg(x)$ равен $T_0 = \pi$.
В нашей функции $y = \tg(1 \cdot x + \frac{\pi}{3})$ коэффициент при $x$ равен $k = 1$. Фазовый сдвиг $\phi = \frac{\pi}{3}$ не влияет на величину периода.
Подставляем значение $k$ в формулу для периода:
$T = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

4) Для нахождения основного периода функции $y = \ctg\frac{x}{2}$ воспользуемся общей формулой для периода функции вида $y = A \ctg(kx + \phi) + C$. Основной период такой функции вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период базовой функции $y = \ctg(x)$.
Основной период функции $y = \ctg(x)$ равен $T_0 = \pi$.
В нашей функции $y = \ctg(\frac{1}{2}x)$ коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$.
Подставляем значение $k$ в формулу для периода:
$T = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

7.80. 1) $y = 4x - \frac{x^3}{3}$;

2) $y = \frac{x^4}{4} - x^3$;

3) $y = x^2(1 - x)$;

4) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$.

1) Для функции $y = 4x - \frac{x^3}{3}$ найдем промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$y' = (4x - \frac{x^3}{3})' = 4 - \frac{3x^2}{3} = 4 - x^2$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0 \implies 4 - x^2 = 0 \implies (2-x)(2+x) = 0$.
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.
4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$ и $(2, +\infty)$.
- При $x \in (-\infty, -2)$, например $x=-3$: $y'(-3) = 4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5 < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-2, 2)$, например $x=0$: $y'(0) = 4 - 0^2 = 4 > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (2, +\infty)$, например $x=3$: $y'(3) = 4 - 3^2 = 4 - 9 = -5 < 0$, функция убывает.
5. Определим точки экстремума.
- В точке $x = -2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = y(-2) = 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} = -8 - \frac{-8}{3} = -8 + \frac{8}{3} = -\frac{16}{3}$.
- В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = y(2) = 4(2) - \frac{2^3}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2, 2]$ и убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[2, +\infty)$. Точка минимума: $x_{min} = -2$, $y_{min} = -16/3$. Точка максимума: $x_{max} = 2$, $y_{max} = 16/3$.

2) Для функции $y = \frac{x^4}{4} - x^3$ найдем промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$y' = (\frac{x^4}{4} - x^3)' = \frac{4x^3}{4} - 3x^2 = x^3 - 3x^2 = x^2(x-3)$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0 \implies x^2(x-3) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.
4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +\infty)$.
- При $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$: $y'(-1) = (-1)^2(-1-3) = 1 \cdot (-4) = -4 < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0, 3)$, например $x=1$: $y'(1) = 1^2(1-3) = 1 \cdot (-2) = -2 < 0$, функция убывает.
- При $x \in (3, +\infty)$, например $x=4$: $y'(4) = 4^2(4-3) = 16 \cdot 1 = 16 > 0$, функция возрастает.
5. Определим точки экстремума.
- В точке $x = 0$ производная не меняет знак, значит, это не точка экстремума (это точка перегиба).
- В точке $x = 3$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = y(3) = \frac{3^4}{4} - 3^3 = \frac{81}{4} - 27 = \frac{81 - 108}{4} = -\frac{27}{4}$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[3, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 3]$. Точка минимума: $x_{min} = 3$, $y_{min} = -27/4$. Точек максимума нет.

3) Для функции $y = x^2(1-x)$ найдем промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума.
1. Преобразуем функцию: $y = x^2 - x^3$. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$y' = (x^2 - x^3)' = 2x - 3x^2 = x(2 - 3x)$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0 \implies x(2 - 3x) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2/3$.
4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 2/3)$ и $(2/3, +\infty)$.
- При $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$: $y'(-1) = -1(2-3(-1)) = -5 < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0, 2/3)$, например $x=1/3$: $y'(1/3) = \frac{1}{3}(2-3(\frac{1}{3})) = \frac{1}{3}(1) = \frac{1}{3} > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (2/3, +\infty)$, например $x=1$: $y'(1) = 1(2-3(1)) = -1 < 0$, функция убывает.
5. Определим точки экстремума.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = y(0) = 0^2(1-0) = 0$.
- В точке $x = 2/3$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = y(2/3) = (\frac{2}{3})^2(1 - \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 2/3]$ и убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2/3, +\infty)$. Точка минимума: $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$. Точка максимума: $x_{max} = 2/3$, $y_{max} = 4/27$.

4) Для функции $y = \frac{1}{x^2+1}$ найдем промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума.
1. Область определения функции: знаменатель $x^2+1$ никогда не равен нулю, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования дроби или как производную сложной функции $y = (x^2+1)^{-1}$:
$y' = -1(x^2+1)^{-2} \cdot (x^2+1)' = -(x^2+1)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0 \implies -\frac{2x}{(x^2+1)^2} = 0 \implies -2x = 0$.
Критическая точка: $x = 0$.
4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Знаменатель $(x^2+1)^2$ всегда положителен, поэтому знак производной зависит только от знака числителя $-2x$.
- При $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$: $-2(-1) = 2 > 0$, значит $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (0, +\infty)$, например $x=1$: $-2(1) = -2 < 0$, значит $y' < 0$, функция убывает.
5. Определим точки экстремума.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = y(0) = \frac{1}{0^2+1} = 1$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$. Точка максимума: $x_{max} = 0$, $y_{max} = 1$. Точек минимума нет.

В упражнениях 7.81–7.83 найдите точки экстремума функции и значения функции в точках экстремума.

7. 81.

1) $y = 4x - x^2$;

2) $y = 7x^2 - 56x + 8$;

3) $y = x^2 + 2x - 3$;

4) $y = x^3 + 6x^2 + 9x$.

1) Для функции $y = 4x - x^2$ находим точки экстремума. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
Шаг 1: Найдем производную функции.
$y' = (4x - x^2)' = 4 - 2x$.
Шаг 2: Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$.
$4 - 2x = 0$
$2x = 4$
$x = 2$.
Шаг 3: Определим знак производной в окрестности критической точки.Для $x < 2$, например $x=0$, $y'(0) = 4 - 2(0) = 4 > 0$, функция возрастает.Для $x > 2$, например $x=3$, $y'(3) = 4 - 2(3) = -2 < 0$, функция убывает.Поскольку производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку $x=2$, эта точка является точкой максимума.
Шаг 4: Найдем значение функции в точке максимума.
$y(2) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$.
Ответ: точка максимума $x_{max} = 2$, значение функции в этой точке $y_{max} = 4$.

2) Для функции $y = 7x^2 - 56x + 8$ находим точки экстремума. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
Шаг 1: Найдем производную функции.
$y' = (7x^2 - 56x + 8)' = 14x - 56$.
Шаг 2: Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$.
$14x - 56 = 0$
$14x = 56$
$x = 4$.
Шаг 3: Определим знак производной в окрестности критической точки.Для $x < 4$, например $x=0$, $y'(0) = 14(0) - 56 = -56 < 0$, функция убывает.Для $x > 4$, например $x=5$, $y'(5) = 14(5) - 56 = 14 > 0$, функция возрастает.Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку $x=4$, эта точка является точкой минимума.
Шаг 4: Найдем значение функции в точке минимума.
$y(4) = 7(4^2) - 56(4) + 8 = 7 \cdot 16 - 224 + 8 = 112 - 224 + 8 = -104$.
Ответ: точка минимума $x_{min} = 4$, значение функции в этой точке $y_{min} = -104$.

3) Для функции $y = x^2 + 2x - 3$ находим точки экстремума. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
Шаг 1: Найдем производную функции.
$y' = (x^2 + 2x - 3)' = 2x + 2$.
Шаг 2: Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$.
$2x + 2 = 0$
$2x = -2$
$x = -1$.
Шаг 3: Определим знак производной в окрестности критической точки.Для $x < -1$, например $x=-2$, $y'(-2) = 2(-2) + 2 = -2 < 0$, функция убывает.Для $x > -1$, например $x=0$, $y'(0) = 2(0) + 2 = 2 > 0$, функция возрастает.Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку $x=-1$, эта точка является точкой минимума.
Шаг 4: Найдем значение функции в точке минимума.
$y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Ответ: точка минимума $x_{min} = -1$, значение функции в этой точке $y_{min} = -4$.

4) Для функции $y = x^3 + 6x^2 + 9x$ находим точки экстремума. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
Шаг 1: Найдем производную функции.
$y' = (x^3 + 6x^2 + 9x)' = 3x^2 + 12x + 9$.
Шаг 2: Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$.
$3x^2 + 12x + 9 = 0$.
Разделим обе части на 3: $x^2 + 4x + 3 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.
Шаг 3: Определим знак производной на интервалах, образованных критическими точками: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; +\infty)$.
$y' = 3(x+1)(x+3)$.
Для $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$, $y'(-4) = 3(-4+1)(-4+3) = 3(-3)(-1) = 9 > 0$, функция возрастает.Для $x \in (-3; -1)$, например $x=-2$, $y'(-2) = 3(-2+1)(-2+3) = 3(-1)(1) = -3 < 0$, функция убывает.Для $x \in (-1; +\infty)$, например $x=0$, $y'(0) = 3(0+1)(0+3) = 9 > 0$, функция возрастает.
В точке $x=-3$ производная меняет знак с '+' на '-', следовательно, это точка максимума.В точке $x=-1$ производная меняет знак с '-' на '+', следовательно, это точка минимума.
Шаг 4: Найдем значения функции в точках экстремума.
В точке максимума $x = -3$: $y(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) = -27 + 6(9) - 27 = -27 + 54 - 27 = 0$.
В точке минимума $x = -1$: $y(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1 + 6(1) - 9 = -1 + 6 - 9 = -4$.
Ответ: точка максимума $x_{max} = -3$, значение функции $y_{max} = 0$; точка минимума $x_{min} = -1$, значение функции $y_{min} = -4$.

7.82. 1) $y = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + 3;$

2) $y = x^3 - 3x;$

3) $y = x^4 - 2x^2;$

4) $y = \frac{1}{x} + x.$

1) Для функции $y = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + 3$ проведем исследование на монотонность и экстремумы.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $y' = (\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + 3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} \cdot 2x - 2 = x^2 - x - 2$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$x^2 - x - 2 = 0$.

Решая это квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty, -1)$, $(-1, 2)$ и $(2, +\infty)$. График производной $y' = x^2 - x - 2$ — это парабола с ветвями, направленными вверх.

• На интервале $(-\infty, -1)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция $y(x)$ возрастает.

• На интервале $(-1, 2)$ производная $y' < 0$, следовательно, функция $y(x)$ убывает.

• На интервале $(2, +\infty)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция $y(x)$ возрастает.

5. Определим точки экстремума.

• В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. $x_{max} = -1$.

Значение функции в этой точке: $y(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} - 2(-1) + 3 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 + 3 = 5 - \frac{5}{6} = \frac{25}{6}$.

• В точке $x = 2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $x_{min} = 2$.

Значение функции в этой точке: $y(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} - 2(2) + 3 = \frac{8}{3} - 2 - 4 + 3 = \frac{8}{3} - 3 = -\frac{1}{3}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[2, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, 2]$; точка максимума $(-1, \frac{25}{6})$, точка минимума $(2, -\frac{1}{3})$.

2) Для функции $y = x^3 - 3x$ проведем исследование на монотонность и экстремумы.

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.

3. Найдем критические точки: $y' = 0$.

$3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow 3(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x^2 = 1$.

Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$. График $y' = 3x^2 - 3$ — парабола с ветвями вверх.

• На интервале $(-\infty, -1)$ $y' > 0$, функция возрастает.

• На интервале $(-1, 1)$ $y' < 0$, функция убывает.

• На интервале $(1, +\infty)$ $y' > 0$, функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.

• В точке $x = -1$ (смена знака $y'$ с «+» на «−») — точка локального максимума. $x_{max} = -1$.

Значение функции: $y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.

• В точке $x = 1$ (смена знака $y'$ с «−» на «+») — точка локального минимума. $x_{min} = 1$.

Значение функции: $y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, 1]$; точка максимума $(-1, 2)$, точка минимума $(1, -2)$.

3) Для функции $y = x^4 - 2x^2$ проведем исследование на монотонность и экстремумы.

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную: $y' = (x^4 - 2x^2)' = 4x^3 - 4x$.

3. Найдем критические точки: $y' = 0$.

$4x^3 - 4x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow 4x(x - 1)(x + 1) = 0$.

Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$ методом интервалов.

• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $y'(-2) = 4(-2)((-2)^2-1) < 0$, функция убывает.

• При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $y'(-0.5) = 4(-0.5)((-0.5)^2-1) > 0$, функция возрастает.

• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $y'(0.5) = 4(0.5)((0.5)^2-1) < 0$, функция убывает.

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $y'(2) = 4(2)(2^2-1) > 0$, функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.

• В точке $x = -1$ (смена знака $y'$ с «−» на «+») — точка минимума. $y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1$.

• В точке $x = 0$ (смена знака $y'$ с «+» на «−») — точка максимума. $y(0) = 0^4 - 2(0)^2 = 0$.

• В точке $x = 1$ (смена знака $y'$ с «−» на «+») — точка минимума. $y(1) = 1^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$; точка максимума $(0, 0)$, точки минимума $(-1, -1)$ и $(1, -1)$.

4) Для функции $y = \frac{1}{x} + x$ проведем исследование на монотонность и экстремумы.

1. Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Найдем производную: $y' = (\frac{1}{x} + x)' = -\frac{1}{x^2} + 1 = \frac{x^2 - 1}{x^2}$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{x^2 - 1}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$.

Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в область определения функции.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Знак $y'$ совпадает со знаком числителя $x^2 - 1$, так как знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$.

• На интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$, $x^2 - 1 > 0$, значит $y' > 0$ и функция возрастает.

• На интервалах $(-1, 0)$ и $(0, 1)$, $x^2 - 1 < 0$, значит $y' < 0$ и функция убывает.

5. Определим точки экстремума.

• В точке $x = -1$ (смена знака $y'$ с «+» на «−») — точка локального максимума. $x_{max} = -1$.

Значение функции: $y(-1) = \frac{1}{-1} + (-1) = -1 - 1 = -2$.

• В точке $x = 1$ (смена знака $y'$ с «−» на «+») — точка локального минимума. $x_{min} = 1$.

Значение функции: $y(1) = \frac{1}{1} + 1 = 1 + 1 = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутках $[-1, 0)$ и $(0, 1]$; точка максимума $(-1, -2)$, точка минимума $(1, 2)$.

7.83. 1) $y = 3\cos x$;

2) $y = \frac{1}{2}\sin 2x$;

1) Найдем область значений функции $y = 3\cos x$.

Известно, что функция $y_0 = \cos x$ принимает все значения от $-1$ до $1$ включительно. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$-1 \le \cos x \le 1$

Функция $y = 3\cos x$ получается из функции $y_0 = \cos x$ умножением на коэффициент 3. Это преобразование соответствует растяжению графика функции $y_0 = \cos x$ от оси абсцисс (оси OX) в 3 раза. Соответственно, каждое значение функции $\cos x$ умножается на 3.

Чтобы найти новую область значений, умножим все части исходного неравенства на 3:

$3 \cdot (-1) \le 3 \cdot \cos x \le 3 \cdot 1$

$-3 \le 3\cos x \le 3$

Таким образом, область значений функции $y = 3\cos x$ есть отрезок $[-3, 3]$.

Ответ: $[-3, 3]$.

2) Найдем область значений функции $y = \frac{1}{2}\sin 2x$.

Известно, что функция синус принимает все значения от $-1$ до $1$ включительно. Аргумент синуса (в данном случае $2x$) не влияет на множество значений, которые может принимать функция. Таким образом, для любого значения $x$ справедливо неравенство:

$-1 \le \sin 2x \le 1$

Функция $y = \frac{1}{2}\sin 2x$ получается из функции $y_1 = \sin 2x$ умножением на коэффициент $\frac{1}{2}$. Это преобразование соответствует сжатию графика функции $y_1 = \sin 2x$ к оси абсцисс (оси OX) в 2 раза. Соответственно, каждое значение функции $\sin 2x$ умножается на $\frac{1}{2}$.

Чтобы найти новую область значений, умножим все части исходного неравенства на $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} \cdot (-1) \le \frac{1}{2} \cdot \sin 2x \le \frac{1}{2} \cdot 1$

$-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin 2x \le \frac{1}{2}$

Таким образом, область значений функции $y = \frac{1}{2}\sin 2x$ есть отрезок $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Ответ: $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.