Номер 7.80, страница 221 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.80. 1) $y = 4x - \frac{x^3}{3}$;

2) $y = \frac{x^4}{4} - x^3$;

3) $y = x^2(1 - x)$;

4) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$.

1) Для функции $y = 4x - \frac{x^3}{3}$ найдем промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$y' = (4x - \frac{x^3}{3})' = 4 - \frac{3x^2}{3} = 4 - x^2$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0 \implies 4 - x^2 = 0 \implies (2-x)(2+x) = 0$.
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.
4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$ и $(2, +\infty)$.
- При $x \in (-\infty, -2)$, например $x=-3$: $y'(-3) = 4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5 < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-2, 2)$, например $x=0$: $y'(0) = 4 - 0^2 = 4 > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (2, +\infty)$, например $x=3$: $y'(3) = 4 - 3^2 = 4 - 9 = -5 < 0$, функция убывает.
5. Определим точки экстремума.
- В точке $x = -2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = y(-2) = 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} = -8 - \frac{-8}{3} = -8 + \frac{8}{3} = -\frac{16}{3}$.
- В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = y(2) = 4(2) - \frac{2^3}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2, 2]$ и убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[2, +\infty)$. Точка минимума: $x_{min} = -2$, $y_{min} = -16/3$. Точка максимума: $x_{max} = 2$, $y_{max} = 16/3$.

2) Для функции $y = \frac{x^4}{4} - x^3$ найдем промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$y' = (\frac{x^4}{4} - x^3)' = \frac{4x^3}{4} - 3x^2 = x^3 - 3x^2 = x^2(x-3)$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0 \implies x^2(x-3) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.
4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +\infty)$.
- При $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$: $y'(-1) = (-1)^2(-1-3) = 1 \cdot (-4) = -4 < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0, 3)$, например $x=1$: $y'(1) = 1^2(1-3) = 1 \cdot (-2) = -2 < 0$, функция убывает.
- При $x \in (3, +\infty)$, например $x=4$: $y'(4) = 4^2(4-3) = 16 \cdot 1 = 16 > 0$, функция возрастает.
5. Определим точки экстремума.
- В точке $x = 0$ производная не меняет знак, значит, это не точка экстремума (это точка перегиба).
- В точке $x = 3$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = y(3) = \frac{3^4}{4} - 3^3 = \frac{81}{4} - 27 = \frac{81 - 108}{4} = -\frac{27}{4}$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[3, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 3]$. Точка минимума: $x_{min} = 3$, $y_{min} = -27/4$. Точек максимума нет.

3) Для функции $y = x^2(1-x)$ найдем промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума.
1. Преобразуем функцию: $y = x^2 - x^3$. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$y' = (x^2 - x^3)' = 2x - 3x^2 = x(2 - 3x)$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0 \implies x(2 - 3x) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2/3$.
4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 2/3)$ и $(2/3, +\infty)$.
- При $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$: $y'(-1) = -1(2-3(-1)) = -5 < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0, 2/3)$, например $x=1/3$: $y'(1/3) = \frac{1}{3}(2-3(\frac{1}{3})) = \frac{1}{3}(1) = \frac{1}{3} > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (2/3, +\infty)$, например $x=1$: $y'(1) = 1(2-3(1)) = -1 < 0$, функция убывает.
5. Определим точки экстремума.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = y(0) = 0^2(1-0) = 0$.
- В точке $x = 2/3$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = y(2/3) = (\frac{2}{3})^2(1 - \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 2/3]$ и убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2/3, +\infty)$. Точка минимума: $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$. Точка максимума: $x_{max} = 2/3$, $y_{max} = 4/27$.

4) Для функции $y = \frac{1}{x^2+1}$ найдем промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума.
1. Область определения функции: знаменатель $x^2+1$ никогда не равен нулю, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования дроби или как производную сложной функции $y = (x^2+1)^{-1}$:
$y' = -1(x^2+1)^{-2} \cdot (x^2+1)' = -(x^2+1)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0 \implies -\frac{2x}{(x^2+1)^2} = 0 \implies -2x = 0$.
Критическая точка: $x = 0$.
4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Знаменатель $(x^2+1)^2$ всегда положителен, поэтому знак производной зависит только от знака числителя $-2x$.
- При $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$: $-2(-1) = 2 > 0$, значит $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (0, +\infty)$, например $x=1$: $-2(1) = -2 < 0$, значит $y' < 0$, функция убывает.
5. Определим точки экстремума.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = y(0) = \frac{1}{0^2+1} = 1$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$. Точка максимума: $x_{max} = 0$, $y_{max} = 1$. Точек минимума нет.