Вопросы, страница 220 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как определяются промежутки возрастания и убывания функции?

2. Что такое точка экстремума? Какие точки называются точками максимума (минимума)? Дайте определение.

3. Какие точки называются критическими точками функции?

4. Сформулируйте необходимое условие экстремума функции и докажите его.

5. Сформулируйте первое достаточное условие экстремума функции и докажите его.

6. Сформулируйте правила нахождения точек экстремума (максимума и минимума) функции и поясните их смысл на примере.

1. Промежутки возрастания и убывания функции определяются с помощью ее первой производной. Это основано на следующем достаточном условии монотонности функции:

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на интервале $(a, b)$.

• Если производная функции $f'(x) > 0$ для всех $x$ из этого интервала, то функция $f(x)$ строго возрастает на интервале $(a, b)$.

• Если производная функции $f'(x) < 0$ для всех $x$ из этого интервала, то функция $f(x)$ строго убывает на интервале $(a, b)$.

Для нахождения этих промежутков используется следующий алгоритм:

1. Найти область определения функции $f(x)$.

2. Найти производную функции $f'(x)$.

3. Найти критические точки функции, то есть точки, в которых $f'(x) = 0$ или $f'(x)$ не существует.

4. Отметить критические точки на числовой оси, разбив область определения на промежутки.

5. Определить знак производной $f'(x)$ на каждом из полученных промежутков, подставив в производную любое значение из этого промежутка.

6. Сделать вывод о возрастании или убывании функции на каждом промежутке.

Ответ: Промежутки возрастания и убывания функции определяются по знаку ее первой производной. Если на промежутке $f'(x) > 0$, функция возрастает; если $f'(x) < 0$, функция убывает.

2. Точки максимума и минимума функции объединяются общим названием — точки экстремума.

Определение: Точка $x_0$ из области определения функции $f(x)$ называется точкой локального максимума, если существует такая окрестность точки $x_0$ (например, интервал $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$), что для всех $x$ из этой окрестности, отличных от $x_0$, выполняется неравенство $f(x) < f(x_0)$. Значение функции $f(x_0)$ в этой точке называется локальным максимумом.

Определение: Точка $x_0$ из области определения функции $f(x)$ называется точкой локального минимума, если существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности, отличных от $x_0$, выполняется неравенство $f(x) > f(x_0)$. Значение функции $f(x_0)$ в этой точке называется локальным минимумом.

Ответ: Точка экстремума — это точка локального максимума или локального минимума функции. Точка $x_0$ является точкой максимума (минимума), если значение функции в этой точке больше (меньше), чем в любой другой точке из некоторой ее окрестности.

3.Критическими точками функции $f(x)$ называются внутренние точки области определения функции, в которых ее производная $f'(x)$ равна нулю или не существует.

То есть, $x_0$ — критическая точка, если:

1. $x_0$ является внутренней точкой области определения $f(x)$.

2. Выполняется одно из двух условий: $f'(x_0) = 0$ или $f'(x_0)$ не существует.

Ответ: Критические точки — это внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует.

4.Необходимое условие экстремума (Теорема Ферма):

Формулировка: Если точка $x_0$ является точкой локального экстремума функции $f(x)$, и в этой точке существует производная $f'(x_0)$, то эта производная равна нулю: $f'(x_0) = 0$.

Доказательство:

Пусть $x_0$ — точка локального максимума. Тогда по определению существует такая окрестность $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$, что для любого $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.

Это означает, что приращение функции $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \le 0$ для всех $\Delta x$ таких, что $|\Delta x| < \delta$.

По определению, производная в точке $x_0$ есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента: $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

Рассмотрим этот предел с двух сторон:

• Если $\Delta x \to 0^+$ (справа), то $\Delta x > 0$. Так как $\Delta f \le 0$, отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x} \le 0$. Следовательно, предел справа $f'_+(x_0) \le 0$.

• Если $\Delta x \to 0^-$ (слева), то $\Delta x < 0$. Так как $\Delta f \le 0$, отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x} \ge 0$. Следовательно, предел слева $f'\_(x_0) \ge 0$.

По условию теоремы, производная $f'(x_0)$ существует. Это значит, что односторонние пределы равны: $f'_+(x_0) = f'\_(x_0) = f'(x_0)$.

Единственное число, которое одновременно меньше либо равно нулю и больше либо равно нулю, — это ноль. Таким образом, $f'(x_0) = 0$.

Доказательство для точки минимума аналогично, только неравенство для $\Delta f$ будет $\ge 0$.

Ответ: Необходимое условие экстремума (теорема Ферма) гласит: если в точке экстремума $x_0$ существует производная, то она равна нулю, $f'(x_0)=0$.

5.Первое достаточное условие экстремума функции:

Формулировка: Пусть функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, и $x_0$ является ее критической точкой. Тогда:

• Если при переходе через точку $x_0$ (слева направо) производная $f'(x)$ меняет знак с плюса на минус, то $x_0$ является точкой локального максимума.

• Если при переходе через точку $x_0$ производная $f'(x)$ меняет знак с минуса на плюс, то $x_0$ является точкой локального минимума.

• Если при переходе через точку $x_0$ производная $f'(x)$ не меняет знак, то в точке $x_0$ экстремума нет.

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда производная меняет знак с плюса на минус. Это означает, что существует такая окрестность $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$, что:

• для всех $x \in (x_0 - \delta, x_0)$ выполняется $f'(x) > 0$;

• для всех $x \in (x_0, x_0 + \delta)$ выполняется $f'(x) < 0$.

На интервале $(x_0 - \delta, x_0)$ функция $f(x)$ возрастает. Следовательно, для любого $x$ из этого интервала $f(x) < f(x_0)$ (так как функция непрерывна в точке $x_0$).

На интервале $(x_0, x_0 + \delta)$ функция $f(x)$ убывает. Следовательно, для любого $x$ из этого интервала $f(x) < f(x_0)$.

Таким образом, для любого $x$ из окрестности $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$, отличного от $x_0$, выполняется неравенство $f(x) < f(x_0)$. По определению, это означает, что $x_0$ — точка локального максимума.

Доказательство для точки минимума (смена знака с минуса на плюс) проводится аналогично.

Ответ: Первое достаточное условие экстремума: если при переходе через критическую точку $x_0$ производная меняет знак с «+» на «–», то это точка максимума; если с «–» на «+» — точка минимума. Если знак не меняется, экстремума нет.

6.Правила нахождения точек экстремума (максимума и минимума) функции:

Алгоритм исследования функции на экстремумы:

1. Найти область определения функции $f(x)$.

2. Найти производную $f'(x)$.

3. Найти критические точки, решив уравнение $f'(x)=0$ и найдя точки, где $f'(x)$ не существует (но которые входят в область определения $f(x)$).

4. Нанести критические точки на числовую ось и определить знаки производной $f'(x)$ в получившихся интервалах.

5. По смене знака производной в критических точках определить точки максимума и минимума (согласно первому достаточному условию).

6. Вычислить значения функции в точках экстремума, то есть найти сами экстремумы (максимумы и минимумы).

Пример: Найдем точки экстремума функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как это многочлен.

2. Производная: $f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9x + 2)' = 3x^2 - 12x + 9$.

3. Критические точки: Решим уравнение $f'(x) = 0$.
$3x^2 - 12x + 9 = 0$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Производная существует везде, поэтому других критических точек нет.

4. Знаки производной: Нанесем точки $x=1$ и $x=3$ на числовую ось. Она разобьется на три интервала: $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$ и $(3, +\infty)$.
• В интервале $(-\infty, 1)$ возьмем $x=0$: $f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0$. Знак «+».
• В интервале $(1, 3)$ возьмем $x=2$: $f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0$. Знак «–».
• В интервале $(3, +\infty)$ возьмем $x=4$: $f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0$. Знак «+».

5. Определение точек экстремума:
• В точке $x=1$ знак производной меняется с «+» на «–». Следовательно, $x=1$ — точка локального максимума.
• В точке $x=3$ знак производной меняется с «–» на «+». Следовательно, $x=3$ — точка локального минимума.

6. Значения экстремумов:
• Локальный максимум: $f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 1 - 6 + 9 + 2 = 6$.
• Локальный минимум: $f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 2 = 27 - 54 + 27 + 2 = 2$.

Смысл правил: Производная показывает скорость изменения функции (наклон касательной). В точках экстремума касательная к графику горизонтальна (наклон равен нулю) или не существует (излом). Эти точки являются "кандидатами" в экстремумы. Проверяя знак производной вокруг этих точек, мы выясняем, как ведет себя функция: если она сначала росла (наклон положительный), а потом стала убывать (наклон отрицательный), то мы прошли через "вершину" (максимум). Если наоборот — через "впадину" (минимум).

Ответ: Правила нахождения точек экстремума сводятся к алгоритму: найти производную, приравнять ее к нулю для нахождения критических точек, а затем исследовать знак производной в окрестности этих точек для определения максимумов и минимумов.