Докажите самостоятельно, страница 220 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Докажите самостоятельно

Пункт б) доказывается аналогично.

На изображении приведено указание из учебного материала, которое предлагает доказать некий "пункт б)" по аналогии с ранее разобранным "пунктом а)". Поскольку содержание этих пунктов неизвестно, невозможно предоставить точное доказательство.

Вместо этого, я продемонстрирую решение на примере известной теоремы, где один пункт доказывается аналогично другому, и приведу полное доказательство, как если бы это было заданием из учебника.

Пункт б)

Чтобы выполнить задание "доказать пункт б) аналогично", нам сначала нужно увидеть доказательство пункта а). В качестве примера возьмем Законы де Моргана для операций над множествами.

Формулировка теоремы: для любых множеств $A$ и $B$ справедливы следующие равенства:

а) $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$

б) $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$

Здесь $X^c$ обозначает дополнение множества $X$. Равенство множеств $X=Y$ доказывается установлением двух фактов: $X \subseteq Y$ и $Y \subseteq X$.

Сначала приведем доказательство для пункта а).

Доказательство, что $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$:

1. Докажем вложение $(A \cup B)^c \subseteq A^c \cap B^c$.
Пусть $x$ — произвольный элемент из $(A \cup B)^c$. По определению дополнения, это означает, что $x \notin (A \cup B)$.
Если элемент не принадлежит объединению, он не принадлежит ни одному из множеств, то есть $x \notin A$ и одновременно $x \notin B$.
Из $x \notin A$ следует, что $x \in A^c$. Из $x \notin B$ следует, что $x \in B^c$.
Так как $x$ принадлежит и $A^c$, и $B^c$, по определению пересечения он принадлежит $A^c \cap B^c$.
Следовательно, любой элемент из $(A \cup B)^c$ содержится в $A^c \cap B^c$, что и доказывает вложение.

2. Докажем вложение $A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c$.
Пусть $x$ — произвольный элемент из $A^c \cap B^c$. По определению пересечения, $x \in A^c$ и $x \in B^c$.
По определению дополнения, это значит, что $x \notin A$ и $x \notin B$.
Раз элемент не принадлежит ни $A$, ни $B$, он не может принадлежать их объединению $A \cup B$.
Следовательно, $x \in (A \cup B)^c$.
Таким образом, любой элемент из $A^c \cap B^c$ содержится в $(A \cup B)^c$, что доказывает обратное вложение.

Поскольку доказаны оба вложения, равенство $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ установлено.

Теперь, как и требовалось в исходном задании, докажем пункт б) аналогично.

Доказательство, что $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$:

1. Докажем вложение $(A \cap B)^c \subseteq A^c \cup B^c$.
Пусть $x$ — произвольный элемент из $(A \cap B)^c$. Это значит, что $x \notin (A \cap B)$.
Если элемент не принадлежит пересечению, он не принадлежит как минимум одному из этих множеств, то есть $x \notin A$ или $x \notin B$.
Если $x \notin A$, то $x \in A^c$. Если $x \notin B$, то $x \in B^c$.
Следовательно, верно, что $x \in A^c$ или $x \in B^c$. По определению объединения, это означает $x \in (A^c \cup B^c)$.
Следовательно, $(A \cap B)^c \subseteq A^c \cup B^c$.

2. Докажем вложение $A^c \cup B^c \subseteq (A \cap B)^c$.
Пусть $x$ — произвольный элемент из $A^c \cup B^c$. По определению объединения, $x \in A^c$ или $x \in B^c$.
Это означает, что $x \notin A$ или $x \notin B$.
В любом из этих случаев неверно, что $x$ принадлежит обоим множествам $A$ и $B$ одновременно. То есть, $x \notin (A \cap B)$.
По определению дополнения, отсюда следует, что $x \in (A \cap B)^c$.
Следовательно, $A^c \cup B^c \subseteq (A \cap B)^c$.

Поскольку доказаны оба вложения, равенство $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ установлено.

Как видно, структура доказательства пункта б) полностью повторяет структуру доказательства пункта а): используется метод двойного включения, а логические шаги основаны на определениях операций над множествами, при этом определения "объединения" и "пересечения" (и соответствующие им логические связки "и" / "или") меняются ролями. Именно это и означает, что утверждение "доказывается аналогично".

Ответ: В качестве примера приведено доказательство второго закона де Моргана $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ по аналогии с доказательством первого. Доказательство основано на методе двойного включения. Сначала доказывается, что любой элемент множества $(A \cap B)^c$ принадлежит множеству $A^c \cup B^c$. Затем доказывается обратное: любой элемент множества $A^c \cup B^c$ принадлежит множеству $(A \cap B)^c$. Из этих двух утверждений следует равенство множеств.