Номер 7.70, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.70. Найдите производную 3-го порядка функции:

1) $(x-1)^{-1}$;

2) $(2x-1)^{100}$;

3) $\sin(3x-2)$;

4) $\cos(ax+b)$.

1) $y = (x-1)^{-1}$

Для нахождения производной 3-го порядка необходимо последовательно найти производные первого, второго и третьего порядков.

Находим первую производную, используя формулу производной степенной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$:

$y' = ((x-1)^{-1})' = -1 \cdot (x-1)^{-1-1} \cdot (x-1)' = -1 \cdot (x-1)^{-2} \cdot 1 = -(x-1)^{-2}$.

Теперь находим вторую производную, дифференцируя первую производную:

$y'' = (-(x-1)^{-2})' = -(-2) \cdot (x-1)^{-2-1} \cdot (x-1)' = 2 \cdot (x-1)^{-3} \cdot 1 = 2(x-1)^{-3}$.

Наконец, находим третью производную, дифференцируя вторую производную:

$y''' = (2(x-1)^{-3})' = 2 \cdot (-3) \cdot (x-1)^{-3-1} \cdot (x-1)' = -6 \cdot (x-1)^{-4} \cdot 1 = -6(x-1)^{-4}$.

Результат можно также записать в виде дроби: $y''' = -\frac{6}{(x-1)^4}$.

Ответ: $y''' = -6(x-1)^{-4}$.

2) $y = (2x-1)^{100}$

Для нахождения производных будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) и формулу для степенной функции.

Первая производная:

$y' = ((2x-1)^{100})' = 100(2x-1)^{99} \cdot (2x-1)' = 100(2x-1)^{99} \cdot 2 = 200(2x-1)^{99}$.

Вторая производная:

$y'' = (200(2x-1)^{99})' = 200 \cdot 99(2x-1)^{98} \cdot (2x-1)' = 19800(2x-1)^{98} \cdot 2 = 39600(2x-1)^{98}$.

Третья производная:

$y''' = (39600(2x-1)^{98})' = 39600 \cdot 98(2x-1)^{97} \cdot (2x-1)' = 3880800(2x-1)^{97} \cdot 2 = 7761600(2x-1)^{97}$.

Коэффициент можно также получить следующим образом: $100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 2^3 = 970200 \cdot 8 = 7761600$.

Ответ: $y''' = 7761600(2x-1)^{97}$.

3) $y = \sin(3x-2)$

Для нахождения производных будем использовать цепное правило и производные тригонометрических функций: $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$ и $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$.

Первая производная:

$y' = (\sin(3x-2))' = \cos(3x-2) \cdot (3x-2)' = \cos(3x-2) \cdot 3 = 3\cos(3x-2)$.

Вторая производная:

$y'' = (3\cos(3x-2))' = 3(-\sin(3x-2)) \cdot (3x-2)' = -3\sin(3x-2) \cdot 3 = -9\sin(3x-2)$.

Третья производная:

$y''' = (-9\sin(3x-2))' = -9\cos(3x-2) \cdot (3x-2)' = -9\cos(3x-2) \cdot 3 = -27\cos(3x-2)$.

Ответ: $y''' = -27\cos(3x-2)$.

4) $y = \cos(ax+b)$

Эта задача решается аналогично предыдущей, но с параметрами $a$ и $b$.

Первая производная:

$y' = (\cos(ax+b))' = -\sin(ax+b) \cdot (ax+b)' = -\sin(ax+b) \cdot a = -a\sin(ax+b)$.

Вторая производная:

$y'' = (-a\sin(ax+b))' = -a \cdot \cos(ax+b) \cdot (ax+b)' = -a\cos(ax+b) \cdot a = -a^2\cos(ax+b)$.

Третья производная:

$y''' = (-a^2\cos(ax+b))' = -a^2(-\sin(ax+b)) \cdot (ax+b)' = a^2\sin(ax+b) \cdot a = a^3\sin(ax+b)$.

Ответ: $y''' = a^3\sin(ax+b)$.