Номер 7.69, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.69. Чему равна производная 300-го порядка функции:

1) $(7 + x^2)^{100};$

2) $(8 - 3x^2)^{149};$

3) $\cos 3x$

4) $\sin \frac{x}{2}; ?$

1) Заданная функция $y = (7 + x^2)^{100}$ является многочленом. Чтобы найти его степень, раскроем скобки по формуле бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$. В нашем случае $a=7$, $b=x^2$, $n=100$. $(7+x^2)^{100} = \binom{100}{0} \cdot 7^{100} \cdot (x^2)^0 + \binom{100}{1} \cdot 7^{99} \cdot (x^2)^1 + \dots + \binom{100}{100} \cdot 7^0 \cdot (x^2)^{100}$. Старшая степень переменной $x$ в этом разложении равна $2 \cdot 100 = 200$. Таким образом, мы имеем дело с многочленом 200-й степени. Производная любого многочлена степени $m$ порядка $n$, где $n > m$, равна нулю. В нашем случае степень многочлена $m=200$, а порядок производной $n=300$. Так как $300 > 200$, то производная 300-го порядка от данной функции равна нулю.
Ответ: 0.

2) Функция $y = (8 - 3x^2)^{149}$ также является многочленом. Найдем его степень. Воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$. Здесь $a=8$, $b=-3x^2$, $n=149$. $(8 - 3x^2)^{149} = \sum_{k=0}^{149} \binom{149}{k} \cdot 8^{149-k} \cdot (-3x^2)^k$. Старшая степень переменной $x$ в этом разложении будет при $k=149$, и она равна $2 \cdot 149 = 298$. Таким образом, это многочлен 298-й степени. Мы ищем производную 300-го порядка. Поскольку порядок производной $n=300$ больше, чем степень многочлена $m=298$, производная будет равна нулю.
Ответ: 0.

3) Для нахождения производной $n$-го порядка от функции $y = \cos(ax)$ используется формула: $y^{(n)} = a^n \cos(ax + \frac{n\pi}{2})$. В нашем случае $y = \cos(3x)$, значит $a=3$. Мы ищем производную 300-го порядка, то есть $n=300$. Подставим значения в формулу: $y^{(300)} = 3^{300} \cos(3x + \frac{300\pi}{2})$. Упростим выражение в аргументе косинуса: $\frac{300\pi}{2} = 150\pi$. Так как косинус — функция периодическая с периодом $2\pi$, то $\cos(\alpha + 2k\pi) = \cos(\alpha)$ для любого целого $k$. В нашем случае $150\pi = 75 \cdot 2\pi$, что является целым числом периодов. Следовательно, $\cos(3x + 150\pi) = \cos(3x)$. Таким образом, производная 300-го порядка равна: $y^{(300)} = 3^{300} \cos(3x)$.
Ответ: $3^{300} \cos(3x)$.

4) Для нахождения производной $n$-го порядка от функции $y = \sin(ax)$ используется формула: $y^{(n)} = a^n \sin(ax + \frac{n\pi}{2})$. В нашей задаче $y = \sin(\frac{x}{2})$, значит $a=\frac{1}{2}$. Мы ищем производную 300-го порядка, то есть $n=300$. Подставим значения в формулу: $y^{(300)} = (\frac{1}{2})^{300} \sin(\frac{x}{2} + \frac{300\pi}{2})$. Упростим аргумент синуса: $\frac{300\pi}{2} = 150\pi$. Синус также является периодической функцией с периодом $2\pi$, поэтому $\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin(\alpha)$ для любого целого $k$. Так как $150\pi = 75 \cdot 2\pi$, то $\sin(\frac{x}{2} + 150\pi) = \sin(\frac{x}{2})$. В результате получаем: $y^{(300)} = (\frac{1}{2})^{300} \sin(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2^{300}} \sin(\frac{x}{2})$.
Ответ: $\frac{1}{2^{300}} \sin(\frac{x}{2})$.