Номер 7.62, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.62. Даны функции $f(x) = 3 - 2x$, $g(x) = x^2$ и $u(x) = \sin x$. Задайте формулой сложную функцию $F(x)$ и найдите $F'(x)$:

1) $F(x) = f(g(x));$

2) $F(x) = g(u(x));$

3) $F(x) = g(f(x));$

4) $F(x) = u(g(x));$

5) $F(x) = f(g(u(x)));$

6) $F(x) = u(g(f(x))).$

Даны функции $f(x) = 3 - 2x$, $g(x) = x^2$ и $u(x) = \sin x$.
Для нахождения производных сложных функций нам понадобятся производные этих функций:
$f'(x) = (3 - 2x)' = -2$
$g'(x) = (x^2)' = 2x$
$u'(x) = (\sin x)' = \cos x$
Основное правило, которое мы будем использовать, — это правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(h(k(x)))' = h'(k(x)) \cdot k'(x)$.

1) F(x) = f(g(x))
Сначала зададим формулой сложную функцию $F(x)$. Для этого подставим функцию $g(x)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:
$F(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 3 - 2(x^2) = 3 - 2x^2$.
Теперь найдем производную $F'(x)$. Используем правило производной сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
$f'(x) = -2$, значит $f'(g(x)) = f'(x^2) = -2$.
$g'(x) = 2x$.
$F'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -2 \cdot 2x = -4x$.
Ответ: $F(x) = 3 - 2x^2$, $F'(x) = -4x$.

2) F(x) = g(u(x))
Зададим сложную функцию $F(x)$, подставив $u(x)$ в $g(x)$:
$F(x) = g(u(x)) = g(\sin x) = (\sin x)^2 = \sin^2 x$.
Найдем производную $F'(x)$ по цепному правилу: $(g(u(x)))' = g'(u(x)) \cdot u'(x)$.
$g'(x) = 2x$, значит $g'(u(x)) = g'(\sin x) = 2\sin x$.
$u'(x) = \cos x$.
$F'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x) = (2\sin x) \cdot \cos x = 2\sin x \cos x$.
Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла, получаем: $F'(x) = \sin(2x)$.
Ответ: $F(x) = \sin^2 x$, $F'(x) = 2\sin x \cos x = \sin(2x)$.

3) F(x) = g(f(x))
Зададим сложную функцию $F(x)$, подставив $f(x)$ в $g(x)$:
$F(x) = g(f(x)) = g(3 - 2x) = (3 - 2x)^2$.
Найдем производную $F'(x)$ по цепному правилу: $(g(f(x)))' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$.
$g'(x) = 2x$, значит $g'(f(x)) = g'(3 - 2x) = 2(3 - 2x) = 6 - 4x$.
$f'(x) = -2$.
$F'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) = (6 - 4x) \cdot (-2) = -12 + 8x = 8x - 12$.
Ответ: $F(x) = (3 - 2x)^2$, $F'(x) = 8x - 12$.

4) F(x) = u(g(x))
Зададим сложную функцию $F(x)$, подставив $g(x)$ в $u(x)$:
$F(x) = u(g(x)) = u(x^2) = \sin(x^2)$.
Найдем производную $F'(x)$ по цепному правилу: $(u(g(x)))' = u'(g(x)) \cdot g'(x)$.
$u'(x) = \cos x$, значит $u'(g(x)) = u'(x^2) = \cos(x^2)$.
$g'(x) = 2x$.
$F'(x) = u'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$.
Ответ: $F(x) = \sin(x^2)$, $F'(x) = 2x\cos(x^2)$.

5) F(x) = f(g(u(x)))
Зададим сложную функцию $F(x)$, которая является композицией трех функций. Сначала найдем $g(u(x))$:
$g(u(x)) = g(\sin x) = (\sin x)^2 = \sin^2 x$.
Теперь подставим результат в функцию $f(x)$:
$F(x) = f(\sin^2 x) = 3 - 2\sin^2 x$.
Найдем производную $F'(x)$. Правило дифференцирования для композиции трех функций: $(f(g(u(x))))' = f'(g(u(x))) \cdot g'(u(x)) \cdot u'(x)$.
$f'(x) = -2$, значит $f'(g(u(x))) = -2$.
$g'(x) = 2x$, значит $g'(u(x)) = 2u(x) = 2\sin x$.
$u'(x) = \cos x$.
$F'(x) = (-2) \cdot (2\sin x) \cdot (\cos x) = -4\sin x \cos x$.
Используя формулу синуса двойного угла, получаем: $F'(x) = -2\sin(2x)$.
Ответ: $F(x) = 3 - 2\sin^2 x$, $F'(x) = -4\sin x \cos x = -2\sin(2x)$.

6) F(x) = u(g(f(x)))
Зададим сложную функцию $F(x)$. Сначала найдем $g(f(x))$:
$g(f(x)) = g(3 - 2x) = (3 - 2x)^2$.
Теперь подставим результат в функцию $u(x)$:
$F(x) = u((3 - 2x)^2) = \sin((3 - 2x)^2)$.
Найдем производную $F'(x)$ по цепному правилу: $(u(g(f(x))))' = u'(g(f(x))) \cdot g'(f(x)) \cdot f'(x)$.
$u'(x) = \cos x$, значит $u'(g(f(x))) = \cos((3-2x)^2)$.
$g'(x) = 2x$, значит $g'(f(x)) = 2f(x) = 2(3-2x)$.
$f'(x) = -2$.
$F'(x) = \cos((3-2x)^2) \cdot (2(3-2x)) \cdot (-2) = -4(3-2x)\cos((3-2x)^2)$.
Раскрыв скобки, получим: $F'(x) = (8x-12)\cos((3-2x)^2)$.
Ответ: $F(x) = \sin((3 - 2x)^2)$, $F'(x) = -4(3-2x)\cos((3 - 2x)^2) = (8x-12)\cos((3-2x)^2)$.