Номер 7.61, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.61. Решите уравнение $f'(x) = 0$:

1) $f(x) = x - \sin 2x;$

2) $f(x) = x + \operatorname{ctg} 3x;$

3) $f(x) = \cos 2x + x;$

4) $f(x) = \sin 2x - \sqrt{3x}.$

1) Для функции $f(x) = x - \sin 2x$ найдем ее производную. Используем правило дифференцирования разности и производную сложной функции:
$f'(x) = (x - \sin 2x)' = (x)' - (\sin 2x)' = 1 - \cos(2x) \cdot (2x)' = 1 - 2\cos 2x$.
Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:
$1 - 2\cos 2x = 0$
$2\cos 2x = 1$
$\cos 2x = \frac{1}{2}$
Решения этого тригонометрического уравнения имеют вид: $2x = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$
Разделив обе части на 2, найдем $x$:
$x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Для функции $f(x) = x + \text{ctg } 3x$ найдем ее производную. Область определения функции задается условием $\sin 3x \neq 0$, то есть $3x \neq \pi k$, $x \neq \frac{\pi k}{3}$ для $k \in \mathbb{Z}$.
$f'(x) = (x + \text{ctg } 3x)' = (x)' + (\text{ctg } 3x)' = 1 + \left(-\frac{1}{\sin^2(3x)}\right) \cdot (3x)' = 1 - \frac{3}{\sin^2(3x)}$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$1 - \frac{3}{\sin^2(3x)} = 0$
$\frac{3}{\sin^2(3x)} = 1$
$\sin^2(3x) = 3$
$\sin(3x) = \pm\sqrt{3}$
Поскольку значение функции синус лежит в диапазоне $[-1, 1]$, а $|\pm\sqrt{3}| \approx 1.732 > 1$, данное уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: решений нет.

3) Для функции $f(x) = \cos 2x + x$ найдем ее производную:
$f'(x) = (\cos 2x + x)' = (\cos 2x)' + (x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' + 1 = 1 - 2\sin 2x$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$1 - 2\sin 2x = 0$
$2\sin 2x = 1$
$\sin 2x = \frac{1}{2}$
Решения этого тригонометрического уравнения имеют вид: $2x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$
Разделив обе части на 2, получим $x$:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Для функции $f(x) = \sin 2x - \sqrt{3}x$ найдем ее производную:
$f'(x) = (\sin 2x - \sqrt{3}x)' = (\sin 2x)' - (\sqrt{3}x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' - \sqrt{3} = 2\cos 2x - \sqrt{3}$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$2\cos 2x - \sqrt{3} = 0$
$2\cos 2x = \sqrt{3}$
$\cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Решения этого тригонометрического уравнения имеют вид: $2x = \pm\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$
Разделив обе части на 2, получим $x$:
$x = \pm\frac{\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.