Номер 7.60, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.60. Найдите производную функции в указанной точке:

1) $f(x) = x^2 - 2\sqrt{x}, x = 4, x = 16;$

2) $g(x) = x^2 \sin \frac{x}{2}, x = \frac{\pi}{3}, x = \pi.$

1) Дана функция $f(x) = x^2 - 2\sqrt{x}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Для этого представим функцию в виде $f(x) = x^2 - 2x^{1/2}$.

Используем правило дифференцирования разности функций и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^2 - 2x^{1/2})' = (x^2)' - (2x^{1/2})' = 2x^{2-1} - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = 2x - x^{-1/2} = 2x - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Теперь найдем значения производной в указанных точках.

При $x = 4$:

$f'(4) = 2 \cdot 4 - \frac{1}{\sqrt{4}} = 8 - \frac{1}{2} = 7,5$.

При $x = 16$:

$f'(16) = 2 \cdot 16 - \frac{1}{\sqrt{16}} = 32 - \frac{1}{4} = 31,75$.

Ответ: $f'(4) = 7,5$; $f'(16) = 31,75$.

2) Дана функция $g(x) = x^2 \sin\frac{x}{2}$.

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правилом дифференцирования сложной функции.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sin\frac{x}{2}$.

Тогда $u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Производная $v'(x)$ находится как производная сложной функции: $v'(x) = (\sin\frac{x}{2})' = \cos\frac{x}{2} \cdot (\frac{x}{2})' = \cos\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}$.

Теперь найдем производную $g'(x)$:

$g'(x) = u'v + uv' = 2x \sin\frac{x}{2} + x^2 \cdot \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} = 2x \sin\frac{x}{2} + \frac{x^2}{2}\cos\frac{x}{2}$.

Теперь найдем значения производной в указанных точках.

При $x = \frac{\pi}{3}$:

$g'(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\pi}{3} \sin(\frac{\pi/3}{2}) + \frac{(\pi/3)^2}{2}\cos(\frac{\pi/3}{2}) = \frac{2\pi}{3}\sin\frac{\pi}{6} + \frac{\pi^2/9}{2}\cos\frac{\pi}{6}$.

Зная, что $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$g'(\frac{\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\pi^2}{18} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}\pi^2}{36}$.

При $x = \pi$:

$g'(\pi) = 2\pi \sin\frac{\pi}{2} + \frac{\pi^2}{2}\cos\frac{\pi}{2}$.

Зная, что $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ и $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, получаем:

$g'(\pi) = 2\pi \cdot 1 + \frac{\pi^2}{2} \cdot 0 = 2\pi$.

Ответ: $g'(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}\pi^2}{36}$; $g'(\pi) = 2\pi$.