Номер 7.57, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.57. 1) $y = \sqrt{x-2} \cdot \sin(3x-2);$

2) $y = (x^2+4)\cos\sqrt{x-3};$

3) $y = (3x^2-2x-5)\operatorname{tg}\sqrt{x};$

4) $y = \sqrt{x}\operatorname{ctg}(3x^2-2x-5).$

1) Для функции $y = \sqrt{x-2} \cdot \sin(3x-2)$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = \sqrt{x-2}$ и $v = \sin(3x-2)$.

Найдём производную для $u$, используя правило для степенной и сложной функции: $u' = (\sqrt{x-2})' = ((x-2)^{1/2})' = \frac{1}{2}(x-2)^{-1/2} \cdot (x-2)' = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$.

Найдём производную для $v$, используя правило для тригонометрической и сложной функции: $v' = (\sin(3x-2))' = \cos(3x-2) \cdot (3x-2)' = 3\cos(3x-2)$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения: $y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x-2}} \cdot \sin(3x-2) + \sqrt{x-2} \cdot 3\cos(3x-2)$.

Ответ: $y' = \frac{\sin(3x-2)}{2\sqrt{x-2}} + 3\sqrt{x-2}\cos(3x-2)$.

2) Для функции $y = (x^2+4)\cos\sqrt{x-3}$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = x^2+4$ и $v = \cos\sqrt{x-3}$.

Найдём производную для $u$: $u' = (x^2+4)' = 2x$.

Найдём производную для $v$, используя цепное правило: $v' = (\cos\sqrt{x-3})' = -\sin\sqrt{x-3} \cdot (\sqrt{x-3})' = -\sin\sqrt{x-3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-3}} = -\frac{\sin\sqrt{x-3}}{2\sqrt{x-3}}$.

Подставляем в формулу производной произведения: $y' = u'v + uv' = 2x \cdot \cos\sqrt{x-3} + (x^2+4) \left(-\frac{\sin\sqrt{x-3}}{2\sqrt{x-3}}\right)$.

Ответ: $y' = 2x\cos\sqrt{x-3} - \frac{(x^2+4)\sin\sqrt{x-3}}{2\sqrt{x-3}}$.

3) Для функции $y = (3x^2-2x-5)\operatorname{tg}\sqrt{x}$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = 3x^2-2x-5$ и $v = \operatorname{tg}\sqrt{x}$.

Найдём производную для $u$: $u' = (3x^2-2x-5)' = 6x-2$.

Найдём производную для $v$: $v' = (\operatorname{tg}\sqrt{x})' = \frac{1}{\cos^2(\sqrt{x})} \cdot (\sqrt{x})' = \frac{1}{\cos^2(\sqrt{x})} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}\cos^2(\sqrt{x})}$.

Подставляем в формулу: $y' = u'v + uv' = (6x-2)\operatorname{tg}\sqrt{x} + (3x^2-2x-5) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}\cos^2(\sqrt{x})}$.

Ответ: $y' = (6x-2)\operatorname{tg}\sqrt{x} + \frac{3x^2-2x-5}{2\sqrt{x}\cos^2(\sqrt{x})}$.

4) Для функции $y = \sqrt{x}\operatorname{ctg}(3x^2-2x-5)$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = \sqrt{x}$ и $v = \operatorname{ctg}(3x^2-2x-5)$.

Найдём производную для $u$: $u' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Найдём производную для $v$: $v' = (\operatorname{ctg}(3x^2-2x-5))' = -\frac{1}{\sin^2(3x^2-2x-5)} \cdot (3x^2-2x-5)' = -\frac{6x-2}{\sin^2(3x^2-2x-5)}$.

Подставляем в формулу: $y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\operatorname{ctg}(3x^2-2x-5) + \sqrt{x}\left(-\frac{6x-2}{\sin^2(3x^2-2x-5)}\right)$.

Ответ: $y' = \frac{\operatorname{ctg}(3x^2-2x-5)}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}(6x-2)}{\sin^2(3x^2-2x-5)}$.