Номер 7.59, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.59. 1) $y = (2x + 1)\arcsin \sqrt{x}$;

2) $y = \sqrt{x} \cdot \arccos(x^2 + 2x - 1)$;

3) $y = \operatorname{arctg} \sqrt{x-4}$;

4) $y = \operatorname{arcctg}(5x^2 - 3)$.

1) Дана функция $y = (2x + 1)\arcsin\sqrt{x}$.
Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования произведения двух функций $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = 2x+1$ и $v = \arcsin\sqrt{x}$.
Найдем производные для $u$ и $v$:
$u' = (2x+1)' = 2$.
Для нахождения производной $v = \arcsin\sqrt{x}$ используем правило дифференцирования сложной функции. Производная арксинуса $(\arcsin z)' = \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}$ и производная корня $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$v' = (\arcsin\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot (\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}} = \frac{1}{2\sqrt{x-x^2}}$.
Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:
$y' = (2x+1)' \cdot \arcsin\sqrt{x} + (2x+1) \cdot (\arcsin\sqrt{x})'$.
$y' = 2\arcsin\sqrt{x} + (2x+1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-x^2}}$.
$y' = 2\arcsin\sqrt{x} + \frac{2x+1}{2\sqrt{x-x^2}}$.
Ответ: $y' = 2\arcsin\sqrt{x} + \frac{2x+1}{2\sqrt{x-x^2}}$.

2) Дана функция $y = \sqrt{x} \cdot \arccos(x^2 + 2x - 1)$.
Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = \sqrt{x}$ и $v = \arccos(x^2 + 2x - 1)$.
Найдем производные для $u$ и $v$:
$u' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Для нахождения производной $v = \arccos(x^2 + 2x - 1)$ используем правило дифференцирования сложной функции. Производная арккосинуса $(\arccos z)' = -\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}$.
$v' = (\arccos(x^2 + 2x - 1))' = -\frac{1}{\sqrt{1 - (x^2+2x-1)^2}} \cdot (x^2+2x-1)'$.
$(x^2+2x-1)' = 2x+2$.
$v' = -\frac{2x+2}{\sqrt{1 - (x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x + 1)}} = -\frac{2(x+1)}{\sqrt{-x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 4x}}$.
Подставим найденные производные в формулу:
$y' = (\sqrt{x})' \cdot \arccos(x^2 + 2x - 1) + \sqrt{x} \cdot (\arccos(x^2 + 2x - 1))'$.
$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \arccos(x^2 + 2x - 1) + \sqrt{x} \left( -\frac{2(x+1)}{\sqrt{-x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 4x}} \right)$.
Упростим второе слагаемое, заметив, что в области определения функции $x \ge 0$. Тогда $\sqrt{-x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 4x} = \sqrt{x(-x^3 - 4x^2 - 2x + 4)} = \sqrt{x}\sqrt{4-2x-4x^2-x^3}$.
$y' = \frac{\arccos(x^2 + 2x - 1)}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} \cdot 2(x+1)}{\sqrt{x}\sqrt{4-2x-4x^2-x^3}} = \frac{\arccos(x^2 + 2x - 1)}{2\sqrt{x}} - \frac{2(x+1)}{\sqrt{4-2x-4x^2-x^3}}$.
Ответ: $y' = \frac{\arccos(x^2 + 2x - 1)}{2\sqrt{x}} - \frac{2(x+1)}{\sqrt{4-2x-4x^2-x^3}}$.

3) Дана функция $y = \operatorname{arctg}\sqrt{x-4}$.
Это сложная функция, для нахождения ее производной используем цепное правило.
Пусть $u = \sqrt{x-4}$. Тогда $y = \operatorname{arctg}(u)$.
Производная арктангенса $(\operatorname{arctg} z)' = \frac{1}{1+z^2}$.
Производная $u' = (\sqrt{x-4})' = \frac{1}{2\sqrt{x-4}} \cdot (x-4)' = \frac{1}{2\sqrt{x-4}}$.
По правилу дифференцирования сложной функции:
$y' = (\operatorname{arctg}(\sqrt{x-4}))' = \frac{1}{1+(\sqrt{x-4})^2} \cdot (\sqrt{x-4})'$.
$y' = \frac{1}{1 + (x-4)} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-4}}$.
$y' = \frac{1}{x-3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-4}} = \frac{1}{2(x-3)\sqrt{x-4}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{2(x-3)\sqrt{x-4}}$.

4) Дана функция $y = \operatorname{arcctg}(5x^2 - 3)$.
Это сложная функция, для нахождения ее производной используем цепное правило.
Пусть $u = 5x^2-3$. Тогда $y = \operatorname{arcctg}(u)$.
Производная арккотангенса $(\operatorname{arcctg} z)' = -\frac{1}{1+z^2}$.
Производная $u' = (5x^2 - 3)' = 10x$.
По правилу дифференцирования сложной функции:
$y' = (\operatorname{arcctg}(5x^2 - 3))' = -\frac{1}{1+(5x^2-3)^2} \cdot (5x^2-3)'$.
$y' = -\frac{1}{1 + (25x^4 - 30x^2 + 9)} \cdot 10x$.
$y' = -\frac{10x}{25x^4 - 30x^2 + 10}$.
Сократим дробь на 5:
$y' = -\frac{2x}{5x^4 - 6x^2 + 2}$.
Ответ: $y' = -\frac{2x}{5x^4 - 6x^2 + 2}$.