Номер 7.58, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.58. 1) $y = \frac{\sin 3x}{\sqrt{x-1}};$

2) $y = \frac{\sqrt{2x-3}}{\cos \frac{x}{2}}.$

1) Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sin 3x}{\sqrt{x-1}}$ необходимо учесть два условия, при которых функция существует:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $\sqrt{x-1} \neq 0$.

Эти два условия можно объединить в одно строгое неравенство, так как если подкоренное выражение будет строго больше нуля, то оба условия выполнятся одновременно.

Получаем неравенство: $x - 1 > 0$.

Решая его, находим: $x > 1$.

Числитель, $\sin 3x$, определён для любых действительных значений $x$, поэтому он не накладывает дополнительных ограничений на область определения.

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие 1.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

2) Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{2x-3}}{\cos\frac{x}{2}}$ необходимо рассмотреть следующие условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня в числителе должно быть неотрицательным, так как извлекать квадратный корень можно только из неотрицательных чисел.

Запишем это условие в виде неравенства: $2x - 3 \ge 0$.

Решаем неравенство: $2x \ge 3$, откуда $x \ge \frac{3}{2}$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Запишем это условие: $\cos\frac{x}{2} \neq 0$.

Функция косинус равна нулю, когда её аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, мы должны исключить значения $x$, для которых $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Выразим $x$, умножив обе части на 2: $x \neq \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь объединим оба условия: $x \ge \frac{3}{2}$ и $x \neq \pi + 2\pi k$.

Нам нужно из промежутка $[\frac{3}{2}; +\infty)$ исключить все точки вида $\pi + 2\pi k$.

Поскольку $\pi \approx 3.14$, а $\frac{3}{2} = 1.5$, то все значения $\pi + 2\pi k$ при $k \ge 0$ (то есть для $k=0, 1, 2, \dots$) будут больше или равны $\frac{3}{2}$ и должны быть исключены. Например, при $k=0$, $x=\pi$; при $k=1$, $x=3\pi$, и т.д. При отрицательных $k$ (например, $k=-1$) значение $x = -\pi$ не входит в промежуток $x \ge \frac{3}{2}$.

Таким образом, область определения — это все числа из промежутка $[\frac{3}{2}; +\infty)$, кроме чисел вида $\pi + 2\pi k$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Ответ: $x \in [\frac{3}{2}; +\infty) \setminus \{\pi + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}, k \ge 0\}$.