Номер 7.54, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.54. 1) $y = \arcsin(5x - 3);$

2) $y = \sqrt{x - 1} + \arccos(x - 1);$

3) $y = \arctan\left(\frac{x}{2} + 1\right);$

4) $y = \sqrt{x - 1} \cdot \arctan(2x + 1).$

1) Область определения функции $y = \arcsin(5x - 3)$ находится из условия, что аргумент функции арксинус должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$.

Для нахождения области определения решим двойное неравенство:

$-1 \le 5x - 3 \le 1$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-1 + 3 \le 5x - 3 + 3 \le 1 + 3$

$2 \le 5x \le 4$

Разделим все части неравенства на 5:

$\frac{2}{5} \le x \le \frac{4}{5}$

Таким образом, область определения функции $D(y)$ есть отрезок $[\frac{2}{5}; \frac{4}{5}]$.

Ответ: $[\frac{2}{5}; \frac{4}{5}]$

2) Область определения функции $y = \sqrt{x - 1} + \arccos(x - 1)$ является пересечением областей определения слагаемых $\sqrt{x - 1}$ и $\arccos(x - 1)$.

1. Для функции $f(x) = \sqrt{x-1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$

2. Для функции $g(x) = \arccos(x-1)$ аргумент должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$:

$-1 \le x - 1 \le 1$

$-1 + 1 \le x \le 1 + 1$

$0 \le x \le 2$

Найдем пересечение полученных множеств: $x \ge 1$ и $0 \le x \le 2$. Это соответствует отрезку $[1; 2]$.

Ответ: $[1; 2]$

3) Область определения функции $y = \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{2} + 1\right)$ совпадает с областью определения функции арктангенс.

Функция арктангенс, $\operatorname{arctg}(u)$, определена для любых действительных значений своего аргумента $u$. В данном случае аргумент $u = \frac{x}{2} + 1$ также определен для любого действительного значения $x$.

Следовательно, область определения исходной функции - это множество всех действительных чисел, $\mathbb{R}$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

4) Область определения функции $y = \sqrt{x - 1} \cdot \operatorname{arcctg}(2x + 1)$ является пересечением областей определения множителей $\sqrt{x - 1}$ и $\operatorname{arcctg}(2x + 1)$.

1. Для множителя $f(x) = \sqrt{x-1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$

2. Для множителя $g(x) = \operatorname{arcctg}(2x + 1)$ ограничений нет, так как функция арккотангенс определена для любых действительных значений своего аргумента.

Область определения всей функции совпадает с областью определения первого множителя, то есть $x \ge 1$.

Ответ: $[1; +\infty)$