Вопросы, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как находится производная сложной функции? Поясните ответ на примере.

2. Как находится производная обратной функции? Поясните ответ.

3. Как определяется производная функции высшего порядка?

4. Каков механический смысл второй производной?

1. Как находится производная сложной функции? Поясните ответ на примере.

Производная сложной функции, то есть функции вида $y = f(g(x))$, находится по правилу дифференцирования сложной функции (цепному правилу). Оно гласит: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную внутренней функции по независимой переменной.

Формула производной сложной функции:

$ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $

Здесь $f(u)$ — внешняя функция, а $u = g(x)$ — внутренняя функция.

Пример: Найдем производную функции $y = \cos(x^3)$.

1. Определим внешнюю и внутреннюю функции.
Внешняя функция: $f(u) = \cos(u)$, где $u$ — промежуточный аргумент.
Внутренняя функция: $u = g(x) = x^3$.

2. Найдем производные этих функций по отдельности.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\cos(u))' = -\sin(u)$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

3. Применим цепное правило. Подставим в формулу найденные производные, заменив $u$ обратно на $g(x) = x^3$:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(x^3) \cdot 3x^2 = -3x^2 \sin(x^3)$.

Ответ: Производная сложной функции находится как произведение производной внешней функции (по ее аргументу) на производную внутренней функции.

2. Как находится производная обратной функции? Поясните ответ.

Если для дифференцируемой функции $y = f(x)$ существует обратная функция $x = g(y)$, и производная $f'(x)$ в некоторой точке $x_0$ не равна нулю ($f'(x_0) \neq 0$), то производная обратной функции в соответствующей точке $y_0 = f(x_0)$ существует и равна величине, обратной производной исходной функции.

Формула для нахождения производной обратной функции:

$g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$

Используя обозначения Лейбница, это можно записать более наглядно:

$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$

Это означает, что производная обратной функции является обратной величиной (в смысле деления) производной прямой функции.

Пример: Найдем производную функции $y = \ln(x)$.

1. Исходная функция $y = \ln(x)$. Обратная к ней функция — это $x = e^y$.

2. В данном случае $y = f(x) = \ln(x)$, а $x = g(y) = e^y$. Мы хотим найти производную $f'(x)$. Пойдем от обратной функции, производную которой мы знаем.

3. Найдем производную обратной функции $x = g(y) = e^y$ по переменной $y$:

$\frac{dx}{dy} = (e^y)' = e^y$

4. Теперь, используя формулу, найдем производную исходной функции $y = \ln(x)$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{e^y}$

5. Так как нам нужна производная по $x$, выразим результат через $x$. Мы знаем, что $x = e^y$, поэтому подставляем это в знаменатель:

$(\ln(x))' = \frac{1}{x}$

Ответ: Производная обратной функции в точке $y$ равна единице, деленной на производную исходной функции в соответствующей точке $x$.

3. Как определяется производная функции высшего порядка?

Производная функции высшего порядка определяется последовательным (повторным) дифференцированием функции.

Пусть дана функция $y = f(x)$.

- Производная первого порядка (или просто производная) — это $f'(x)$.

- Производная второго порядка (или вторая производная) — это производная от производной первого порядка. Она обозначается как $f''(x)$, $y''$ или $\frac{d^2y}{dx^2}$.
$f''(x) = (f'(x))'$

- Производная третьего порядка — это производная от производной второго порядка. Обозначается как $f'''(x)$, $y'''$ или $\frac{d^3y}{dx^3}$.
$f'''(x) = (f''(x))'$

- Производная n-го порядка (где $n$ — натуральное число) — это производная от производной (n-1)-го порядка. Обозначается как $f^{(n)}(x)$, $y^{(n)}$ или $\frac{d^ny}{dx^n}$.
$f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))'$

Таким образом, чтобы найти производную n-го порядка, нужно последовательно продифференцировать функцию $n$ раз.

Ответ: Производная n-го порядка функции определяется как производная от производной (n-1)-го порядка той же функции.

4. Каков механический смысл второй производной?

Механический смысл второй производной связан с описанием движения материальной точки.

Пусть закон движения материальной точки вдоль прямой задан функцией $s(t)$, где $s$ — координата точки (путь) в момент времени $t$.

- Первая производная от пути по времени, $s'(t)$, представляет собой мгновенную скорость движения точки в момент времени $t$:
$v(t) = s'(t)$

- Вторая производная от пути по времени, $s''(t)$, является производной от скорости по времени, $v'(t)$. Эта величина показывает, как быстро изменяется скорость движения, и называется мгновенным ускорением.
$a(t) = v'(t) = (s'(t))' = s''(t)$

Таким образом, вторая производная от функции, описывающей положение тела, по времени, есть его мгновенное ускорение.

- Если $s''(t) > 0$, ускорение положительно, и скорость тела возрастает.
- Если $s''(t) < 0$, ускорение отрицательно (тело замедляется).
- Если $s''(t) = 0$, ускорение равно нулю, и тело движется с постоянной скоростью (равномерно).

Ответ: Механический смысл второй производной функции пути по времени ($s''(t)$) — это мгновенное ускорение материальной точки в момент времени $t$.