Номер 7.47, страница 209 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.47. Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

1) $y = 3x^2 + 2x - 5$;

2) $y = \sin x + 0.5$.

1) $y = 3x^2 + 2x - 5$

Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат, нужно рассмотреть два случая.

Пересечение с осью ординат (ось OY):

Точки на оси OY имеют абсциссу $x=0$. Подставим это значение в уравнение функции, чтобы найти соответствующую ординату $y$:

$y = 3 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 - 5 = 0 + 0 - 5 = -5$

Таким образом, точка пересечения с осью OY имеет координаты $(0; -5)$.

Пересечение с осью абсцисс (ось OX):

Точки на оси OX имеют ординату $y=0$. Подставим это значение в уравнение функции и решим получившееся уравнение относительно $x$:

$3x^2 + 2x - 5 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Таким образом, точки пересечения с осью OX имеют координаты $(1; 0)$ и $(-\frac{5}{3}; 0)$.

Ответ: с осью OY: $(0; -5)$; с осью OX: $(1; 0)$ и $(-\frac{5}{3}; 0)$.

2) $y = \sin x + 0,5$

Пересечение с осью ординат (ось OY):

Подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$y = \sin 0 + 0,5 = 0 + 0,5 = 0,5$

Точка пересечения с осью OY имеет координаты $(0; 0,5)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью OX):

Подставим $y = 0$ в уравнение функции:

$\sin x + 0,5 = 0$

$\sin x = -0,5$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение можно записать с помощью общей формулы $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -0,5$, а $\arcsin(-0,5) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставим это значение в формулу:

$x = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как функция синуса периодическая, существует бесконечное множество точек пересечения с осью OX. Их координаты: $( (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k; 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: с осью OY: $(0; 0,5)$; с осью OX: $ ((-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k; 0), k \in \mathbb{Z}$.