Страница 209 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.46. Вычислите:

1) $2\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arctg}(-1) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$;

2) $\arcsin 1 + \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1) Вычислим значение выражения $2\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \operatorname{arctg}(-1) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для этого найдем значения каждого из слагаемых, используя определения и свойства обратных тригонометрических функций.

- $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$. Арксинус является нечетной функцией, то есть $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Область значений арксинуса – отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Значение $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$ равно $\frac{\pi}{3}$, так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

- $\operatorname{arctg}(-1)$. Арктангенс также является нечетной функцией, то есть $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$. Область значений арктангенса – интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Значение $\operatorname{arctg}(1)$ равно $\frac{\pi}{4}$, так как $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Следовательно, $\operatorname{arctg}(-1) = -\operatorname{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4}$.

- $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Область значений арккосинуса – отрезок $[0, \pi]$.
Значение $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$ равно $\frac{\pi}{4}$, так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$2\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \operatorname{arctg}(-1) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot (-\frac{\pi}{3}) + (-\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.

2) Вычислим значение выражения $\arcsin 1 + \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем значения каждой аркфункции по отдельности.

- $\arcsin(1)$. Это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 1.
$\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

- $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})$. Используем свойство нечетности арктангенса: $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$.
$\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, так как $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ и угол $-\frac{\pi}{3}$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

- $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Сложим полученные значения:
$\arcsin 1 + \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - 2\pi + \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

7.47. Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

1) $y = 3x^2 + 2x - 5$;

2) $y = \sin x + 0.5$.

1) $y = 3x^2 + 2x - 5$

Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат, нужно рассмотреть два случая.

Пересечение с осью ординат (ось OY):

Точки на оси OY имеют абсциссу $x=0$. Подставим это значение в уравнение функции, чтобы найти соответствующую ординату $y$:

$y = 3 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 - 5 = 0 + 0 - 5 = -5$

Таким образом, точка пересечения с осью OY имеет координаты $(0; -5)$.

Пересечение с осью абсцисс (ось OX):

Точки на оси OX имеют ординату $y=0$. Подставим это значение в уравнение функции и решим получившееся уравнение относительно $x$:

$3x^2 + 2x - 5 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Таким образом, точки пересечения с осью OX имеют координаты $(1; 0)$ и $(-\frac{5}{3}; 0)$.

Ответ: с осью OY: $(0; -5)$; с осью OX: $(1; 0)$ и $(-\frac{5}{3}; 0)$.

2) $y = \sin x + 0,5$

Пересечение с осью ординат (ось OY):

Подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$y = \sin 0 + 0,5 = 0 + 0,5 = 0,5$

Точка пересечения с осью OY имеет координаты $(0; 0,5)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью OX):

Подставим $y = 0$ в уравнение функции:

$\sin x + 0,5 = 0$

$\sin x = -0,5$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение можно записать с помощью общей формулы $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -0,5$, а $\arcsin(-0,5) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставим это значение в формулу:

$x = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как функция синуса периодическая, существует бесконечное множество точек пересечения с осью OX. Их координаты: $( (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k; 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: с осью OY: $(0; 0,5)$; с осью OX: $ ((-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k; 0), k \in \mathbb{Z}$.

7.48. Между числами 2 и 64 расположите четыре числа так, чтобы полученные шесть чисел были последовательными членами геометрической прогрессии.

Пусть искомая последовательность является геометрической прогрессией $b_n$. По условию задачи, нам нужно расположить четыре числа между числами 2 и 64. Это означает, что всего в последовательности будет $1 + 4 + 1 = 6$ членов.Первый член прогрессии $b_1 = 2$, а шестой член $b_6 = 64$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Воспользуемся этой формулой, чтобы найти знаменатель $q$. Подставим известные значения для шестого члена ($n=6$):
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$
$64 = 2 \cdot q^5$

Решим это уравнение относительно $q$:
$q^5 = \frac{64}{2}$
$q^5 = 32$

Поскольку $32 = 2^5$, то знаменатель прогрессии $q = 2$.

Теперь мы можем найти четыре числа, которые нужно вставить. Это будут члены прогрессии со второго по пятый. Мы будем последовательно умножать предыдущий член на знаменатель $q=2$, начиная с $b_1=2$.

Второй член: $b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot 2 = 4$.
Третий член: $b_3 = b_2 \cdot q = 4 \cdot 2 = 8$.
Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = 8 \cdot 2 = 16$.
Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 16 \cdot 2 = 32$.

Для проверки найдем шестой член: $b_6 = b_5 \cdot q = 32 \cdot 2 = 64$. Это соответствует условию задачи.

Таким образом, четыре числа, которые нужно расположить между 2 и 64, это 4, 8, 16 и 32. Полученная последовательность: 2, 4, 8, 16, 32, 64.

Ответ: 4, 8, 16, 32.