Страница 204 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Докажите самостоятельно

Формулы 1°, 3°, 4° доказываются аналогично.

Поскольку в задании не указаны конкретные формулы, в качестве формул 1°, 3° и 4° будут рассмотрены и доказаны стандартные правила дифференцирования: правило суммы, правило умножения на константу и правило произведения. Для доказательства используется определение производной через предел. Предполагается, что функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы в точке $x$.

Определение производной функции $f(x)$ в точке $x$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Формула 1°. Доказательство формулы производной суммы двух функций: $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$.

Пусть $f(x) = u(x) + v(x)$. Согласно определению производной:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) + v(x + \Delta x)) - (u(x) + v(x))}{\Delta x}$

Сгруппируем слагаемые в числителе:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) - u(x)) + (v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x}$

Используя свойство предела суммы, которое гласит, что предел суммы равен сумме пределов, разделим предел на два:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}$

Первый предел по определению равен $u'(x)$, а второй — $v'(x)$. Таким образом, получаем:

$f'(x) = u'(x) + v'(x)$

Что и доказывает формулу.

Ответ: $(u + v)' = u' + v'$.

Формула 3°. Доказательство формулы производной произведения функции на константу: $(c \cdot u(x))' = c \cdot u'(x)$.

Пусть $f(x) = c \cdot u(x)$, где $c$ — постоянная. По определению производной:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{c \cdot u(x + \Delta x) - c \cdot u(x)}{\Delta x}$

Вынесем константу $c$ за скобки в числителе:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{c(u(x + \Delta x) - u(x))}{\Delta x}$

Используя свойство предела, вынесем константу за знак предела:

$f'(x) = c \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x}$

Предел в правой части по определению равен производной функции $u(x)$, то есть $u'(x)$. Следовательно:

$f'(x) = c \cdot u'(x)$

Формула доказана.

Ответ: $(cu)' = cu'$.

Формула 4°. Доказательство формулы производной произведения двух функций: $(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.

Пусть $f(x) = u(x)v(x)$. По определению производной:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}$

Применим искусственный прием: вычтем и прибавим в числителе выражение $u(x)v(x + \Delta x)$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x + \Delta x) + u(x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}$

Сгруппируем слагаемые и разделим дробь на две:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{(u(x + \Delta x) - u(x))v(x + \Delta x)}{\Delta x} + \frac{u(x)(v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x} \right)$

Используя свойства пределов (предел суммы равен сумме пределов, предел произведения равен произведению пределов):

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) + \lim_{\Delta x \to 0} u(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}$

Рассмотрим каждый предел отдельно: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} = u'(x)$; $\lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) = v(x)$ (так как дифференцируемая функция непрерывна); $\lim_{\Delta x \to 0} u(x) = u(x)$; $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} = v'(x)$.

Подставляя значения пределов в выражение для $f'(x)$, получаем:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

Формула доказана.

Ответ: $(uv)' = u'v + uv'$.