Страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как вы понимаете среднюю скорость и мгновенную скорость движения материальной точки? Как определяется мгновенная скорость?

2. Какая прямая называется касательной к графику функции $y = f(x)$? Чему равен угловой коэффициент касательной?

3. Дайте определение производной функции в точке. Как обозначаются производные? Каков геометрический и механический смысл производной?

4. Почему функция $y = |x|$ не имеет производной в точке $x = 0$? Как это связано с касательной к графику функции в данной точке?

5. Что такое дифференциал функции и каков его геометрический смысл?

1. Как вы понимаете среднюю скорость и мгновенную скорость движения материальной точки? Как определяется мгновенная скорость?

Средняя скорость движения материальной точки — это скалярная величина, равная отношению пройденного пути ко всему времени движения. Если положение точки в момент времени $t$ задается функцией $s(t)$, то средняя скорость $v_{ср}$ за промежуток времени от $t_0$ до $t_0 + \Delta t$ вычисляется как отношение приращения пути $\Delta s$ к приращению времени $\Delta t$:
$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$
Средняя скорость характеризует движение на всем участке, но не дает информации о скорости в каждый конкретный момент времени.

Мгновенная скорость — это скорость материальной точки в данный момент времени или в данной точке траектории. Она является пределом, к которому стремится средняя скорость, когда промежуток времени $\Delta t$ стремится к нулю.

Мгновенная скорость определяется как производная от функции пути по времени. Математически это выражается следующей формулой:
$v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t} = s'(t_0)$
Таким образом, мгновенная скорость — это первая производная координаты по времени.

Ответ: Средняя скорость — это отношение всего пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден ($v_{ср} = \Delta s / \Delta t$). Мгновенная скорость — это скорость в конкретный момент времени, определяемая как предел средней скорости при стремлении промежутка времени к нулю, что соответствует производной пути по времени ($v = s'(t)$).

2. Какая прямая называется касательной к графику функции $y = f(x)$? Чему равен угловой коэффициент касательной?

Касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $M_0(x_0, f(x_0))$ называется предельное положение секущей, проходящей через точки $M_0(x_0, f(x_0))$ и $M(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$, когда точка $M$ стремится к точке $M_0$ вдоль графика, то есть при $\Delta x \to 0$.

Проще говоря, касательная — это прямая, которая "прикасается" к графику функции в одной точке, имея в этой точке тот же наклон, что и сам график.

Угловой коэффициент касательной ($k$) к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке. Уравнение касательной имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$, где $f'(x_0)$ и есть угловой коэффициент.
$k = f'(x_0)$
Также угловой коэффициент равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox): $k = \tan(\alpha)$.

Ответ: Касательная — это предельное положение секущей, проходящей через две близкие точки на графике. Ее угловой коэффициент равен значению производной функции в точке касания: $k = f'(x_0)$.

3. Дайте определение производной функции в точке. Как обозначаются производные? Каков геометрический и механический смысл производной?

Определение производной: Производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции $\Delta y$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда приращение аргумента стремится к нулю (если этот предел существует и конечен).
$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Обозначения производной:

• По Лагранжу: $f'(x)$, $y'$ (читается "эф штрих от икс", "игрек штрих").
• По Лейбницу: $\frac{dy}{dx}$, $\frac{df(x)}{dx}$ (читается "дэ игрек по дэ икс").
• По Ньютону (в основном в физике для производной по времени): $\dot{s}$ (читается "эс с точкой").
• По Эйлеру: $D_x f$, $D f$.

Геометрический смысл производной: Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$.
$k_{кас} = \tan(\alpha) = f'(x_0)$

Механический (физический) смысл производной: Если функция $s(t)$ описывает закон прямолинейного движения материальной точки (т.е. зависимость пройденного пути от времени), то ее производная по времени $s'(t)$ есть мгновенная скорость движения в момент времени $t$.
$v(t) = s'(t)$

Ответ: Производная — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента ($f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$). Обозначается как $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$ и др. Геометрически — это угловой коэффициент касательной к графику функции, механически — мгновенная скорость движения.

4. Почему функция $y = |x|$ не имеет производной в точке $x = 0$? Как это связано с касательной к графику функции в данной точке?

Чтобы определить, существует ли производная функции $y=|x|$ в точке $x=0$, воспользуемся определением производной:
$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|0 + \Delta x| - |0|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}$

Для существования этого предела необходимо, чтобы односторонние пределы (справа и слева) существовали и были равны.
1. Предел справа (когда $\Delta x$ стремится к 0, оставаясь положительным, $\Delta x \to 0^+$):
В этом случае $|\Delta x| = \Delta x$, поэтому:
$\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} 1 = 1$
2. Предел слева (когда $\Delta x$ стремится к 0, оставаясь отрицательным, $\Delta x \to 0^-$):
В этом случае $|\Delta x| = -\Delta x$, поэтому:
$\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} -1 = -1$

Так как предел справа ($1$) не равен пределу слева ($-1$), общий предел не существует. Следовательно, функция $y=|x|$ не имеет производной в точке $x=0$.

Связь с касательной: Геометрический смысл производной — это угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке. Поскольку производная в точке $x=0$ не существует, это означает, что в этой точке невозможно провести единственную касательную. График функции $y=|x|$ в точке $(0,0)$ имеет излом (острую вершину).

Слева от нуля наклон графика постоянен и равен $-1$ (касательная $y=-x$), а справа — постоянен и равен $1$ (касательная $y=x$). В самой точке $x=0$ происходит резкое изменение направления, и единой касательной не существует.

Ответ: Производная функции $y=|x|$ в точке $x=0$ не существует, так как односторонние пределы отношения приращений не равны ($-1 \neq 1$). Геометрически это означает, что график функции в этой точке имеет излом, и к нему невозможно провести единственную касательную.

5. Что такое дифференциал функции и каков его геометрический смысл?

Дифференциал функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ — это главная линейная часть приращения функции. Он представляет собой произведение производной функции в этой точке на приращение независимой переменной.
Дифференциал обозначается $dy$ или $df(x_0)$ и вычисляется по формуле:
$dy = f'(x_0) \cdot dx$
Здесь $dx$ — это дифференциал независимой переменной, который по определению равен ее приращению: $dx = \Delta x$.
Для малых $\Delta x$ дифференциал $dy$ является хорошим приближением для полного приращения функции $\Delta y$: $\Delta y \approx dy$.

Геометрический смысл дифференциала: Дифференциал функции $dy$ в точке $x_0$ равен приращению ординаты (координаты $y$) касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $M_0(x_0, f(x_0))$, когда абсцисса получает приращение $\Delta x = dx$.

На рисунке показано, что $\Delta y$ — это истинное приращение функции (вертикальное расстояние от $M_0$ до $M$), а $dy$ — это приращение на касательной (вертикальное расстояние от горизонтали, проходящей через $M_0$, до точки $T$ на касательной). Разница между $\Delta y$ и $dy$ является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с $\Delta x$.

Ответ: Дифференциал функции ($dy = f'(x)dx$) — это главная линейная часть приращения функции. Геометрически он представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции, соответствующее приращению аргумента $dx = \Delta x$.

7.1. Найдите приращение функции $y = f(x)$ в точке $x = x_0$:

1) $f(x) = 2x - 3, x_0 = 1, \Delta x = 0,1;$

2) $f(x) = 5, x_0 = -3, \Delta x = -0,1;$

3) $f(x) = x^2 + 1, x_0 = 0, \Delta x = 0,2;$

4) $f(x) = \frac{2}{x-1}, x_0 = 2, \Delta x = -0,2.$

Приращение функции $\Delta y$ (или $\Delta f$) в точке $x_0$ — это разность между значением функции в точке $x_0 + \Delta x$ и значением функции в точке $x_0$. Оно вычисляется по формуле: $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = 2x - 3$, точка $x_0 = 1$ и приращение аргумента $\Delta x = 0,1$.
Сначала найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1$.
Теперь найдем новое значение аргумента: $x_0 + \Delta x = 1 + 0,1 = 1,1$.
Найдем значение функции в этой новой точке:
$f(x_0 + \Delta x) = f(1,1) = 2 \cdot 1,1 - 3 = 2,2 - 3 = -0,8$.
Вычислим приращение функции:
$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = -0,8 - (-1) = -0,8 + 1 = 0,2$.
Ответ: 0,2.

2) Дана функция $f(x) = 5$, точка $x_0 = -3$ и приращение аргумента $\Delta x = -0,1$.
Так как функция является постоянной (константой), ее значение не зависит от $x$.
$f(x_0) = f(-3) = 5$.
Новое значение аргумента: $x_0 + \Delta x = -3 + (-0,1) = -3,1$.
Значение функции в новой точке: $f(x_0 + \Delta x) = f(-3,1) = 5$.
Приращение функции:
$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 5 - 5 = 0$.
Ответ: 0.

3) Дана функция $f(x) = x^2 + 1$, точка $x_0 = 0$ и приращение аргумента $\Delta x = 0,2$.
Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(0) = 0^2 + 1 = 1$.
Новое значение аргумента: $x_0 + \Delta x = 0 + 0,2 = 0,2$.
Найдем значение функции в новой точке:
$f(x_0 + \Delta x) = f(0,2) = (0,2)^2 + 1 = 0,04 + 1 = 1,04$.
Вычислим приращение функции:
$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 1,04 - 1 = 0,04$.
Ответ: 0,04.

4) Дана функция $f(x) = \frac{2}{x - 1}$, точка $x_0 = 2$ и приращение аргумента $\Delta x = -0,2$.
Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(2) = \frac{2}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2$.
Новое значение аргумента: $x_0 + \Delta x = 2 + (-0,2) = 1,8$.
Найдем значение функции в новой точке:
$f(x_0 + \Delta x) = f(1,8) = \frac{2}{1,8 - 1} = \frac{2}{0,8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Вычислим приращение функции:
$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 2,5 - 2 = 0,5$.
Ответ: 0,5.

7.2. Для функции $y = f(x)$ найдите $\Delta y$ и $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ в указанной точке $x = x_0$:

1) $y = -3, x_0 = 2, \Delta x = 0,01;$

2) $y = 4 - 3x, x_0 = -2, \Delta x = 0,3;$

3) $y = 2 - x^2, x_0 = 1, \Delta x = 0,1;$

4) $y = \frac{4x - 2}{x}, x_0 = -1, \Delta x = -0,1.$

1) Дана функция $y = f(x) = -3$, точка $x_0 = 2$ и приращение аргумента $Δx = 0,01$.

Приращение функции $Δy$ вычисляется по формуле: $Δy = f(x_0 + Δx) - f(x_0)$.

Найдем значение аргумента в новой точке: $x_0 + Δx = 2 + 0,01 = 2,01$.

Найдем значения функции в точках $x_0$ и $x_0 + Δx$. Поскольку функция является константой, ее значение не зависит от аргумента.

$f(x_0) = f(2) = -3$

$f(x_0 + Δx) = f(2,01) = -3$

Теперь найдем приращение функции $Δy$:

$Δy = f(2,01) - f(2) = -3 - (-3) = 0$

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{Δy}{Δx}$:

$\frac{Δy}{Δx} = \frac{0}{0,01} = 0$

Ответ: $Δy = 0$; $\frac{Δy}{Δx} = 0$.

2) Дана функция $y = f(x) = 4 - 3x$, точка $x_0 = -2$ и приращение аргумента $Δx = 0,3$.

Формула для приращения функции: $Δy = f(x_0 + Δx) - f(x_0)$.

Найдем значение аргумента в новой точке: $x_0 + Δx = -2 + 0,3 = -1,7$.

Вычислим значения функции в точках $x_0$ и $x_0 + Δx$:

$f(x_0) = f(-2) = 4 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10$

$f(x_0 + Δx) = f(-1,7) = 4 - 3 \cdot (-1,7) = 4 + 5,1 = 9,1$

Теперь найдем приращение функции $Δy$:

$Δy = f(-1,7) - f(-2) = 9,1 - 10 = -0,9$

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{Δy}{Δx}$:

$\frac{Δy}{Δx} = \frac{-0,9}{0,3} = -3$

Ответ: $Δy = -0,9$; $\frac{Δy}{Δx} = -3$.

3) Дана функция $y = f(x) = 2 - x^2$, точка $x_0 = 1$ и приращение аргумента $Δx = 0,1$.

Формула для приращения функции: $Δy = f(x_0 + Δx) - f(x_0)$.

Найдем значение аргумента в новой точке: $x_0 + Δx = 1 + 0,1 = 1,1$.

Вычислим значения функции в точках $x_0$ и $x_0 + Δx$:

$f(x_0) = f(1) = 2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$

$f(x_0 + Δx) = f(1,1) = 2 - (1,1)^2 = 2 - 1,21 = 0,79$

Теперь найдем приращение функции $Δy$:

$Δy = f(1,1) - f(1) = 0,79 - 1 = -0,21$

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{Δy}{Δx}$:

$\frac{Δy}{Δx} = \frac{-0,21}{0,1} = -2,1$

Ответ: $Δy = -0,21$; $\frac{Δy}{Δx} = -2,1$.

4) Дана функция $y = f(x) = \frac{4x - 2}{x}$, точка $x_0 = -1$ и приращение аргумента $Δx = -0,1$.

Формула для приращения функции: $Δy = f(x_0 + Δx) - f(x_0)$.

Найдем значение аргумента в новой точке: $x_0 + Δx = -1 + (-0,1) = -1,1$.

Вычислим значения функции в точках $x_0$ и $x_0 + Δx$:

$f(x_0) = f(-1) = \frac{4(-1) - 2}{-1} = \frac{-4 - 2}{-1} = \frac{-6}{-1} = 6$

$f(x_0 + Δx) = f(-1,1) = \frac{4(-1,1) - 2}{-1,1} = \frac{-4,4 - 2}{-1,1} = \frac{-6,4}{-1,1} = \frac{64}{11}$

Теперь найдем приращение функции $Δy$:

$Δy = f(-1,1) - f(-1) = \frac{64}{11} - 6 = \frac{64}{11} - \frac{66}{11} = -\frac{2}{11}$

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{Δy}{Δx}$:

$\frac{Δy}{Δx} = \frac{-2/11}{-0,1} = \frac{-2/11}{-1/10} = \frac{2}{11} \cdot \frac{10}{1} = \frac{20}{11}$

Ответ: $Δy = -\frac{2}{11}$; $\frac{Δy}{Δx} = \frac{20}{11}$.

7.3. Найдите угловой коэффициент прямой:

1) $y = 4 - 5x;$

2) $y = \frac{2}{3}x - 7;$

3) $4x - 5y + 7 = 0;$

4) $x + 3y - 4 = 0.$

Каким является угол, образованный этой прямой с положительным направлением оси абсцисс: острым или тупым?

1) Дано уравнение прямой $y = 4 - 5x$.
Для нахождения углового коэффициента приведем уравнение к стандартному виду $y = kx + b$.
$y = -5x + 4$.
Угловой коэффициент $k$ — это множитель при $x$, следовательно, $k = -5$.
Так как угловой коэффициент отрицателен ($k < 0$), угол, образованный прямой с положительным направлением оси абсцисс, является тупым.
Ответ: угловой коэффициент равен $-5$, угол тупой.

2) Дано уравнение прямой $y = \frac{2}{3}x - 7$.
Уравнение уже представлено в стандартном виде $y = kx + b$.
Угловой коэффициент $k$ равен множителю при $x$, то есть $k = \frac{2}{3}$.
Так как угловой коэффициент положителен ($k > 0$), угол, образованный прямой с положительным направлением оси абсцисс, является острым.
Ответ: угловой коэффициент равен $\frac{2}{3}$, угол острый.

3) Дано уравнение прямой $4x - 5y + 7 = 0$.
Чтобы найти угловой коэффициент, преобразуем уравнение к виду $y = kx + b$, выразив $y$:
$-5y = -4x - 7$
$5y = 4x + 7$
$y = \frac{4}{5}x + \frac{7}{5}$
Угловой коэффициент $k$ равен множителю при $x$, то есть $k = \frac{4}{5}$.
Так как угловой коэффициент положителен ($k > 0$), угол, образованный прямой с положительным направлением оси абсцисс, является острым.
Ответ: угловой коэффициент равен $\frac{4}{5}$, угол острый.

4) Дано уравнение прямой $x + 3y - 4 = 0$.
Преобразуем уравнение к виду $y = kx + b$, выразив $y$:
$3y = -x + 4$
$y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$
Угловой коэффициент $k$ равен множителю при $x$, то есть $k = -\frac{1}{3}$.
Так как угловой коэффициент отрицателен ($k < 0$), угол, образованный прямой с положительным направлением оси абсцисс, является тупым.
Ответ: угловой коэффициент равен $-\frac{1}{3}$, угол тупой.