Номер 7.1, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.1. Найдите приращение функции $y = f(x)$ в точке $x = x_0$:

1) $f(x) = 2x - 3, x_0 = 1, \Delta x = 0,1;$

2) $f(x) = 5, x_0 = -3, \Delta x = -0,1;$

3) $f(x) = x^2 + 1, x_0 = 0, \Delta x = 0,2;$

4) $f(x) = \frac{2}{x-1}, x_0 = 2, \Delta x = -0,2.$

Приращение функции $\Delta y$ (или $\Delta f$) в точке $x_0$ — это разность между значением функции в точке $x_0 + \Delta x$ и значением функции в точке $x_0$. Оно вычисляется по формуле: $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = 2x - 3$, точка $x_0 = 1$ и приращение аргумента $\Delta x = 0,1$.
Сначала найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1$.
Теперь найдем новое значение аргумента: $x_0 + \Delta x = 1 + 0,1 = 1,1$.
Найдем значение функции в этой новой точке:
$f(x_0 + \Delta x) = f(1,1) = 2 \cdot 1,1 - 3 = 2,2 - 3 = -0,8$.
Вычислим приращение функции:
$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = -0,8 - (-1) = -0,8 + 1 = 0,2$.
Ответ: 0,2.

2) Дана функция $f(x) = 5$, точка $x_0 = -3$ и приращение аргумента $\Delta x = -0,1$.
Так как функция является постоянной (константой), ее значение не зависит от $x$.
$f(x_0) = f(-3) = 5$.
Новое значение аргумента: $x_0 + \Delta x = -3 + (-0,1) = -3,1$.
Значение функции в новой точке: $f(x_0 + \Delta x) = f(-3,1) = 5$.
Приращение функции:
$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 5 - 5 = 0$.
Ответ: 0.

3) Дана функция $f(x) = x^2 + 1$, точка $x_0 = 0$ и приращение аргумента $\Delta x = 0,2$.
Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(0) = 0^2 + 1 = 1$.
Новое значение аргумента: $x_0 + \Delta x = 0 + 0,2 = 0,2$.
Найдем значение функции в новой точке:
$f(x_0 + \Delta x) = f(0,2) = (0,2)^2 + 1 = 0,04 + 1 = 1,04$.
Вычислим приращение функции:
$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 1,04 - 1 = 0,04$.
Ответ: 0,04.

4) Дана функция $f(x) = \frac{2}{x - 1}$, точка $x_0 = 2$ и приращение аргумента $\Delta x = -0,2$.
Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(2) = \frac{2}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2$.
Новое значение аргумента: $x_0 + \Delta x = 2 + (-0,2) = 1,8$.
Найдем значение функции в новой точке:
$f(x_0 + \Delta x) = f(1,8) = \frac{2}{1,8 - 1} = \frac{2}{0,8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Вычислим приращение функции:
$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 2,5 - 2 = 0,5$.
Ответ: 0,5.