Страница 206 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Докажите самостоятельно

Формула $(ctg x)' = - \frac{1}{\sin^2 x}$ доказывается аналогично.

Доказательство формулы $(\text{ctgx})' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Для нахождения производной функции котангенса, представим ее в виде частного двух функций, используя определение котангенса:

$\text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$

Для нахождения производной частного воспользуемся соответствующим правилом дифференцирования: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае, пусть $u(x) = \cos x$ и $v(x) = \sin x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного:

$(\text{ctg}x)' = \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)' = \frac{(\cos x)' \cdot \sin x - \cos x \cdot (\sin x)'}{(\sin x)^2} = \frac{(-\sin x) \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x}$

Упростим полученное выражение в числителе:

$(\text{ctg}x)' = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x}$

Вынесем знак минус за скобки в числителе, чтобы использовать основное тригонометрическое тождество:

$(\text{ctg}x)' = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$

Применив основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получим:

$(\text{ctg}x)' = \frac{-1}{\sin^2 x}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: $(\text{ctgx})' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

1. Напишите основные правила нахождения производной и докажите их.

2. Выучите формулы нахождения производных элементарных функций.

1. Напишите основные правила нахождения производной и докажите их.

Основные правила дифференцирования (нахождения производной) включают правила для производной константы, суммы, произведения, частного и сложной функции. Пусть $u = u(x)$ и $v = v(x)$ — дифференцируемые функции, а $C$ — постоянная величина (константа).

Правило 1: Производная константы

Производная постоянной функции равна нулю.

$ (C)' = 0 $

Доказательство:

Пусть $f(x) = C$. По определению производной:

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{C - C}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0}{\Delta x} = 0 $

Правило 2: Вынесение постоянного множителя за знак производной

$ (C \cdot u(x))' = C \cdot u'(x) $

Доказательство:

Пусть $f(x) = C \cdot u(x)$. По определению производной:

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{C \cdot u(x+\Delta x) - C \cdot u(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{C(u(x+\Delta x) - u(x))}{\Delta x} $

Используя свойство предела, выносим константу $C$ за знак предела:

$ f'(x) = C \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} = C \cdot u'(x) $

Правило 3: Производная суммы (разности)

Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) их производных.

$ (u(x) \pm v(x))' = u'(x) \pm v'(x) $

Доказательство для суммы (для разности аналогично):

Пусть $f(x) = u(x) + v(x)$. По определению производной:

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x+\Delta x) + v(x+\Delta x)) - (u(x) + v(x))}{\Delta x} $

Сгруппируем слагаемые:

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x+\Delta x) - u(x)) + (v(x+\Delta x) - v(x))}{\Delta x} $

Используя свойство предела суммы:

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x} = u'(x) + v'(x) $

Правило 4: Производная произведения

Производная произведения двух функций вычисляется по формуле:

$ (u(x) \cdot v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $

Доказательство:

Пусть $f(x) = u(x) \cdot v(x)$. По определению производной:

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} $

Прибавим и вычтем в числителе слагаемое $u(x)v(x+\Delta x)$:

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x) - u(x)v(x+\Delta x) + u(x)v(x+\Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} $

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{(u(x+\Delta x) - u(x))v(x+\Delta x)}{\Delta x} + \frac{u(x)(v(x+\Delta x) - v(x))}{\Delta x} \right) $

Используя свойства пределов и непрерывность функции $v(x)$ (т.е. $\lim_{\Delta x \to 0} v(x+\Delta x) = v(x)$):

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} v(x+\Delta x) + \lim_{\Delta x \to 0} u(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x} $

$ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $

Правило 5: Производная частного

Производная частного двух функций вычисляется по формуле:

$ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)} $, где $v(x) \neq 0$.

Доказательство:

Пусть $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$. По определению производной:

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)v(x) - u(x)v(x+\Delta x)}{\Delta x \cdot v(x+\Delta x)v(x)} $

Прибавим и вычтем в числителе $u(x)v(x)$:

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)v(x) - u(x)v(x) - u(x)v(x+\Delta x) + u(x)v(x)}{\Delta x \cdot v(x+\Delta x)v(x)} $

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x)(u(x+\Delta x) - u(x)) - u(x)(v(x+\Delta x) - v(x))}{\Delta x \cdot v(x+\Delta x)v(x)} $

Разделим предел на части и учтем, что $\lim_{\Delta x \to 0} v(x+\Delta x) = v(x)$:

$ f'(x) = \frac{1}{v^2(x)} \left( v(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} - u(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x} \right) $

$ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)} $

Правило 6: Производная сложной функции (цепное правило)

Если функция $u=g(x)$ имеет производную в точке $x_0$, а функция $y=f(u)$ имеет производную в соответствующей точке $u_0=g(x_0)$, то сложная функция $y = f(g(x))$ также имеет производную в точке $x_0$, которая вычисляется по формуле:

$ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $

Доказательство:

Пусть $y=f(u)$, $u=g(x)$. Дадим аргументу $x$ приращение $\Delta x$. Тогда $u$ получит приращение $\Delta u = g(x+\Delta x) - g(x)$, а $y$ получит приращение $\Delta y = f(u+\Delta u) - f(u)$.

По определению, производная функции $f(u)$ в точке $u$ есть $f'(u) = \lim_{\Delta u \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u}$. Это означает, что $\frac{\Delta y}{\Delta u} = f'(u) + \alpha(\Delta u)$, где $\alpha(\Delta u) \to 0$ при $\Delta u \to 0$.

Отсюда $\Delta y = f'(u)\Delta u + \alpha(\Delta u)\Delta u$.

Разделим обе части на $\Delta x$:

$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x} + \alpha(\Delta u)\frac{\Delta u}{\Delta x} $

Перейдем к пределу при $\Delta x \to 0$. Так как функция $g(x)$ дифференцируема, она непрерывна, поэтому из $\Delta x \to 0$ следует $\Delta u \to 0$. Следовательно, $\lim_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta u) = 0$.

$ y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x} + \alpha(\Delta u)\frac{\Delta u}{\Delta x} \right) $

$ y'(x) = f'(u) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta u) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} $

Поскольку $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} = g'(x)$, получаем:

$ y'(x) = f'(u) \cdot g'(x) + 0 \cdot g'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $

Ответ: Выше перечислены и доказаны основные правила нахождения производной: производная константы, правило вынесения постоянного множителя, производная суммы (разности), производная произведения, производная частного и производная сложной функции.

2. Выучите формулы нахождения производных элементарных функций.

Ниже приведен список формул производных основных элементарных функций, который необходимо выучить для успешного дифференцирования.

Производные степенных функций:

1. Производная константы: $(C)' = 0$

2. Производная степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

3. Частный случай: $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

4. Частный случай: $(\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

Производные показательных и логарифмических функций:

5. Производная экспоненты: $(e^x)' = e^x$

6. Производная показательной функции: $(a^x)' = a^x \ln a$

7. Производная натурального логарифма: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

8. Производная логарифма по основанию a: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$

Производные тригонометрических функций:

9. $(\sin x)' = \cos x$

10. $(\cos x)' = -\sin x$

11. $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

12. $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Производные обратных тригонометрических функций:

13. $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

14. $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

15. $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$

16. $(\arccot x)' = -\frac{1}{1+x^2}$

Ответ: Представлен список основных формул для нахождения производных элементарных функций, включая степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

В упражнениях 7.25–7.30, 7.33–7.37 найдите производные функций.

7.25. 1) $y = x^2$; 2) $y = 1 - x^3$; 3) $y = 3x^2 - 4x + 5$; 4) $y = 4x^3 - x^5$.

1) Дана функция $y = x^2$.

Для нахождения производной воспользуемся формулой производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

В данном случае $n=2$, поэтому производная функции равна:

$y' = (x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$.

Ответ: $y' = 2x$.

2) Дана функция $y = 1 - x^3$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$, а также производную константы $(C)' = 0$ и производную степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (1 - x^3)' = (1)' - (x^3)'$.

Производная константы $(1)'$ равна 0.

Производная степенной функции $(x^3)'$ при $n=3$ равна $3x^{3-1} = 3x^2$.

Следовательно, $y' = 0 - 3x^2 = -3x^2$.

Ответ: $y' = -3x^2$.

3) Дана функция $y = 3x^2 - 4x + 5$.

Используем правило дифференцирования суммы и разности функций $(u \pm v)' = u' \pm v'$, правило вынесения константы за знак производной $(Cu)' = C \cdot u'$, а также формулы производной степенной функции, производной независимой переменной $(x)'=1$ и производной константы $(C)'=0$.

$y' = (3x^2 - 4x + 5)' = (3x^2)' - (4x)' + (5)'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

$(3x^2)' = 3 \cdot (x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x$.

$(4x)' = 4 \cdot (x)' = 4 \cdot 1 = 4$.

$(5)' = 0$.

Объединяя результаты, получаем: $y' = 6x - 4 + 0 = 6x - 4$.

Ответ: $y' = 6x - 4$.

4) Дана функция $y = 4x^3 - x^5$.

Применим правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$, правило вынесения константы за знак производной $(Cu)' = C \cdot u'$ и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (4x^3 - x^5)' = (4x^3)' - (x^5)'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

$(4x^3)' = 4 \cdot (x^3)' = 4 \cdot 3x^{3-1} = 12x^2$.

$(x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4$.

Таким образом, производная исходной функции равна: $y' = 12x^2 - 5x^4$.

Ответ: $y' = 12x^2 - 5x^4$.

7.26. $1) y = x^2(x - 3);$

$2) y = (x^3 - 2)(2x^3 + 1);$

$3) y = x^3(3x + 2);$

$4) y = (3x^2 - 4)(7x^2 + x - 1).$

1) Для функции $y = x^2(x - 3)$, сначала раскроем скобки, чтобы упростить выражение: $y = x^3 - 3x^2$. Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования разности.$y' = (x^3 - 3x^2)' = (x^3)' - (3x^2)' = 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} = 3x^2 - 6x$.
Ответ: $y' = 3x^2 - 6x$.

2) Для функции $y = (x^3 - 2)(2x^3 + 1)$ используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u = x^3 - 2$ и $v = 2x^3 + 1$.Найдем производные $u'$ и $v'$:$u' = (x^3 - 2)' = 3x^2$.$v' = (2x^3 + 1)' = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2$.Теперь подставим все в формулу производной произведения:$y' = u'v + uv' = (3x^2)(2x^3 + 1) + (x^3 - 2)(6x^2)$.Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$y' = 6x^5 + 3x^2 + 6x^5 - 12x^2 = 12x^5 - 9x^2$.
Ответ: $y' = 12x^5 - 9x^2$.

3) Для функции $y = x^3(3x + 2)$, как и в первом примере, сначала упростим выражение, раскрыв скобки: $y = 3x^4 + 2x^3$.Теперь найдем производную этой функции:$y' = (3x^4 + 2x^3)' = (3x^4)' + (2x^3)' = 3 \cdot 4x^{4-1} + 2 \cdot 3x^{3-1} = 12x^3 + 6x^2$.
Ответ: $y' = 12x^3 + 6x^2$.

4) Для функции $y = (3x^2 - 4)(7x^2 + x - 1)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.Пусть $u = 3x^2 - 4$ и $v = 7x^2 + x - 1$.Найдем их производные:$u' = (3x^2 - 4)' = 6x$.$v' = (7x^2 + x - 1)' = 14x + 1$.Подставим в формулу:$y' = u'v + uv' = (6x)(7x^2 + x - 1) + (3x^2 - 4)(14x + 1)$.Раскроем скобки:$y' = (42x^3 + 6x^2 - 6x) + (3x^2(14x+1) - 4(14x+1))$.$y' = 42x^3 + 6x^2 - 6x + (42x^3 + 3x^2 - 56x - 4)$.Приведем подобные слагаемые:$y' = (42x^3 + 42x^3) + (6x^2 + 3x^2) + (-6x - 56x) - 4 = 84x^3 + 9x^2 - 62x - 4$.
Ответ: $y' = 84x^3 + 9x^2 - 62x - 4$.