Номер 7.46, страница 209 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.46. Вычислите:

1) $2\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arctg}(-1) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$;

2) $\arcsin 1 + \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1) Вычислим значение выражения $2\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \operatorname{arctg}(-1) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для этого найдем значения каждого из слагаемых, используя определения и свойства обратных тригонометрических функций.

- $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$. Арксинус является нечетной функцией, то есть $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Область значений арксинуса – отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Значение $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$ равно $\frac{\pi}{3}$, так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

- $\operatorname{arctg}(-1)$. Арктангенс также является нечетной функцией, то есть $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$. Область значений арктангенса – интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Значение $\operatorname{arctg}(1)$ равно $\frac{\pi}{4}$, так как $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Следовательно, $\operatorname{arctg}(-1) = -\operatorname{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4}$.

- $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Область значений арккосинуса – отрезок $[0, \pi]$.
Значение $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$ равно $\frac{\pi}{4}$, так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$2\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \operatorname{arctg}(-1) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot (-\frac{\pi}{3}) + (-\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.

2) Вычислим значение выражения $\arcsin 1 + \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем значения каждой аркфункции по отдельности.

- $\arcsin(1)$. Это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 1.
$\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

- $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})$. Используем свойство нечетности арктангенса: $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$.
$\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, так как $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ и угол $-\frac{\pi}{3}$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

- $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Сложим полученные значения:
$\arcsin 1 + \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - 2\pi + \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.