Номер 7.39, страница 208 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.39. Найдите значение производной функции в указанной точке:

1) $y = \frac{x^3 - 3x}{2x^4 + 1}$, $x = -1$; $x = 2;

2) $y = \left(\frac{3}{x}+x\right)(\sqrt{x-1})$, $x = 1, x = 4.

1) Дана функция $y = \frac{x^3 - 3x}{2x^4 + 1}$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x^3 - 3x$ и $v(x) = 2x^4 + 1$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$

$v'(x) = (2x^4 + 1)' = 8x^3$

Теперь подставим эти выражения в формулу для производной частного:

$y' = \frac{(3x^2 - 3)(2x^4 + 1) - (x^3 - 3x)(8x^3)}{(2x^4 + 1)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$y' = \frac{(6x^6 + 3x^2 - 6x^4 - 3) - (8x^6 - 24x^4)}{(2x^4 + 1)^2} = \frac{6x^6 + 3x^2 - 6x^4 - 3 - 8x^6 + 24x^4}{(2x^4 + 1)^2} = \frac{-2x^6 + 18x^4 + 3x^2 - 3}{(2x^4 + 1)^2}$

Теперь найдем значение производной в указанных точках.

При $x = -1$:

$y'(-1) = \frac{-2(-1)^6 + 18(-1)^4 + 3(-1)^2 - 3}{(2(-1)^4 + 1)^2} = \frac{-2(1) + 18(1) + 3(1) - 3}{(2(1) + 1)^2} = \frac{-2 + 18 + 3 - 3}{(3)^2} = \frac{16}{9}$

При $x = 2$:

$y'(2) = \frac{-2(2)^6 + 18(2)^4 + 3(2)^2 - 3}{(2(2)^4 + 1)^2} = \frac{-2(64) + 18(16) + 3(4) - 3}{(2(16) + 1)^2} = \frac{-128 + 288 + 12 - 3}{(32 + 1)^2} = \frac{169}{33^2} = \frac{169}{1089}$

Ответ: $y'(-1) = \frac{16}{9}$; $y'(2) = \frac{169}{1089}$.

2) Дана функция $y = (\frac{3}{x} + x)(\sqrt{x} - 1)$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \frac{3}{x} + x = 3x^{-1} + x$ и $v(x) = \sqrt{x} - 1 = x^{1/2} - 1$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (3x^{-1} + x)' = -3x^{-2} + 1 = 1 - \frac{3}{x^2}$

$v'(x) = (x^{1/2} - 1)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставим эти выражения в формулу для производной произведения:

$y' = (1 - \frac{3}{x^2})(\sqrt{x} - 1) + (\frac{3}{x} + x)(\frac{1}{2\sqrt{x}})$

Теперь найдем значение производной в указанных точках.

При $x = 1$:

$y'(1) = (1 - \frac{3}{1^2})(\sqrt{1} - 1) + (\frac{3}{1} + 1)(\frac{1}{2\sqrt{1}}) = (1 - 3)(1 - 1) + (3 + 1)(\frac{1}{2}) = (-2)(0) + 4(\frac{1}{2}) = 0 + 2 = 2$

При $x = 4$:

$y'(4) = (1 - \frac{3}{4^2})(\sqrt{4} - 1) + (\frac{3}{4} + 4)(\frac{1}{2\sqrt{4}}) = (1 - \frac{3}{16})(2 - 1) + (\frac{3}{4} + \frac{16}{4})(\frac{1}{2 \cdot 2}) = (\frac{13}{16})(1) + (\frac{19}{4})(\frac{1}{4}) = \frac{13}{16} + \frac{19}{16} = \frac{32}{16} = 2$

Ответ: $y'(1) = 2$; $y'(4) = 2$.