Номер 7.37, страница 208 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.37.

1) $y = \sqrt{1 + x^2} \cdot \cos x$;

2) $y = \sqrt{1 - x^2} \cdot \sin x$.

1) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{1+x^2} \cdot \cos x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \sqrt{1+x^2}$ и $v(x) = \cos x$.

Найдем производную функции $u(x) = \sqrt{1+x^2}$. Это сложная функция, поэтому применим правило дифференцирования сложной функции. Производная внешней функции $(\sqrt{t})'$ равна $\frac{1}{2\sqrt{t}}$, а производная внутренней функции $(1+x^2)'$ равна $2x$.

$u'(x) = (\sqrt{1+x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot (1+x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.

Производная функции $v(x) = \cos x$ равна $v'(x) = -\sin x$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \cos x + \sqrt{1+x^2} \cdot (-\sin x) = \frac{x \cos x}{\sqrt{1+x^2}} - \sqrt{1+x^2} \sin x$.

Приведем выражение к общему знаменателю $\sqrt{1+x^2}$:

$y' = \frac{x \cos x - (\sqrt{1+x^2} \sin x) \cdot \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{x \cos x - (1+x^2) \sin x}{\sqrt{1+x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{x \cos x - (1+x^2) \sin x}{\sqrt{1+x^2}}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{1-x^2} \cdot \sin x$ также воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \sqrt{1-x^2}$ и $v(x) = \sin x$.

Найдем производную функции $u(x) = \sqrt{1-x^2}$. Используем правило дифференцирования сложной функции. Производная внешней функции $(\sqrt{t})'$ равна $\frac{1}{2\sqrt{t}}$, а производная внутренней функции $(1-x^2)'$ равна $-2x$.

$u'(x) = (\sqrt{1-x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (1-x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.

Производная функции $v(x) = \sin x$ равна $v'(x) = \cos x$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sin x + \sqrt{1-x^2} \cdot \cos x$.

Приведем выражение к общему знаменателю $\sqrt{1-x^2}$:

$y' = \frac{-x \sin x + \sqrt{1-x^2} \cos x \cdot \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-x \sin x + (1-x^2) \cos x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{(1-x^2) \cos x - x \sin x}{\sqrt{1-x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{(1-x^2) \cos x - x \sin x}{\sqrt{1-x^2}}$.